Аналитическое выравнивание рядов динамики


Основы метода аналитического выравнивания рядов динамики

Более совершенным приемом выявления основной тенденции развития в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены определенными математическими функциями. Вид уравнения определяется характером динамики развития конкретного явления. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции y=f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости: линейная, параболическая и экспоненциальная. Во многих случаях моделирование рядов динамики с помощью полиномов или экспоненциальной функции не дает удовлетворительных результатов, так как в рядах динамики содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции. В таких случаях следует использовать гармонический анализ (гармоники ряда Фурье). Применение, именно, этого метода предпочтительно, поскольку он определяет закон, по которому можно достаточно точно спрогнозировать значения уровней ряда.

Целью же аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости y=f(t). Функцию y=f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса. Это могут быть различные функции.

Системы уравнений вида y=f(t) для оценки параметров полиномов по МНК

(кликабельно)

Графическое представление полиномов n-порядка

1. Если изменение уровней ряда характеризуется равномерным увеличением (уменьшением) уровней, когда абсолютные цепные приросты близки по величине, тенденцию развития характеризует уравнение прямой линии.

2. Если в результате анализа типа тенденции динамики установлена криволинейная зависимость, примерно с постоянным ускорением, то форма тенденции выражается уравнением параболы второго порядка.

3. Если рост уровней ряда динамики происходит в геометрической прогрессии, т.е. цепные коэффициенты роста более или менее постоянны, выравнивание ряда динамики ведется по показательной функции.

После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Самый распространенный способ определения параметров уравнения — это метод наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими (выравненными по выбранному уравнению) и эмпирическими уровнями.

Выравнивание по прямой (определение линии тренда) имеет выражение: yt=a0+a1t 

  • t—условное обозначение времени;
  • а0 и a1—параметры искомой прямой.

Параметры прямой находятся из решения системы урав­нений:

    \[\left\{ \begin{gathered} \sum {{y_i} = n{a_0} + {a_1}\sum {{t_i}} } \hfill \\ \sum {{y_i}{t_i} = {a_0}\sum {{t_i} + {a_1}\sum {t_i^2} } } \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Система уравнений упрощается, если значения t подоб­рать так, чтобы их сумма равнялась Σt = 0, т. е. начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода. Если до переноса точки отсчета t = 1, 2, 3, 4…, то после переноса:

  • если число уровней ряда нечетное   t = -4 -3 -2 -1  0 +1 +2 +3 +4
  • если число уровней ряда четное        t = -7 -5 -3 -1 +1 +3 +5 +7

    \[\sum {{t_i} = 0\quad } {a_0} = \frac{{\sum {{y_i}} }}{n}\quad {a_1} = \frac{{\sum {{y_i}{t_i}} }}{{\sum {t_i^2} }}\]

Таким образом, ∑t в нечетной степени всегда будет равна нулю.

Аналогично находятся параметры параболы 2-го порядка  из решения системы урав­нений:

Выравнивание по среднему абсолютному приросту  или среднему коэффициенту роста:

  • Δ-средний абсолютный прирост
  • К-средний коэффициент роста;
  • У0-начальный уровень ряда;
  • Уn-конечный уровень  ряда;
  • t-порядковый номер уровня, начиная с нуля. 

Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Значимость выбранного уравнения регрессии, параметров уравнения и коэффициента корреляции  следует оценить, применив критические методы оценки: 

F-критерий Фишера, t–критерий Стьюдента, при этом, расчетные значения критериев сравниваются с табличными (критическими) при заданном уровне значимости и числе степеней свободы. Fфакт > Fтеор - уравнение регрессии адекватно.

n — число наблюдений (уровней ряда), m — число параметров уравнения (модели) регрессии.

Проверка адекватности уравнения регрессии ( качества модели в целом) осуществляется с помощью средней ошибки аппроксимации, величина которой  не должна превышать 10-12% (рекомендовано).

Рассмотрим на примере аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой с переносом точки отсчета в середину ряда:

Годы

Объем валовой 

продукции            

Условное

обозн. года

Расчетные значения

Выровненный ряд

 

Yi

t

t2

Y*t

Ỹ=209,06+3,91t

1990

187,8

-5

25

-939,00

189,51

1991

185,7

-4

16

-742,94

193,42

1992

195,8

-3

9

-587,29

197,33

1993

207,9

-2

4

-415,80

201,24

1994

208,3

-1

1

-208,32

205,15

1995

208,6

0

0

0,00

209,06

1996

219,7

1

1

219,70

212,97

1997

218,5

2

4

437,00

216,88

1998

222,2

3

9

666,60

220,79

1999

225,1

4

16

900,40

224,7

2000

220,0

5

25

1100,00

228,61

Итого

2299,62

0

110

430,35

2299,62

 

ΣYi

Σt

Σt2

ΣY*t

ΣỸ

Решение системы линейных уравнений:

    \[\left\{ \begin{array}{l} \sum {\mathop y\nolimits_i = \mathop {na}\nolimits_0 + \mathop a\nolimits_1 \sum {\mathop t\nolimits_i } } \\ \sum {\mathop y\nolimits_i \mathop t\nolimits_i = \mathop a\nolimits_0 \sum {\mathop t\nolimits_i + \mathop a\nolimits_1 \sum {\mathop t\nolimits_i^2 } } } \end{array} \right.\]

Σt в нечетной степени всегда равна нулю, поэтому система уравнений упрощается и принимает следующий вид:

    \[\left\{ \begin{array}{l} \sum {{y_i} = n{a_0}} \\ \sum {{y_i}{t_i} = {a_1}\sum {{t^2}} } \end{array} \right.\;\;\left\{ \begin{array}{l} 2299.62 = 11{a_0}\\ 430.35 = 110{a_1} \end{array} \right.\]

    \[\mathop a\nolimits_0  = \frac{{\sum {{y_i}} }}{{\mathop n\nolimits_{} }} = \frac{{2299,62}}{{11}} = 209,06\]

    \[\mathop a\nolimits_1  = \frac{{\sum {{y_i} \cdot {t_i}} }}{{\sum {{t^2}} }} = \frac{{430,35}}{{110}} = 3,91\]

Сумма уровней выровненного ряда должна равняться сумме уровней исходного ряда, что, в свою очередь, подтверждает правильность расчетов. Выровненный ряд динамики по прямой вида (линейный тренд): Ỹ=209,06+3,91t

 

Смотри  аналитическое выравнивание на примере: