Ошибка выборки


Определение предельной ошибки выборки

Предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки: 

    \[\mathop \Delta \nolimits_x  = t \cdot \mu  = t \cdot \sqrt {\frac{{\sigma _x^2}}{n}\left( {1 - \frac{n}{N}} \right)} \;\; \to \mathop \sigma \nolimits_x  = \sqrt {\frac{{\sum {{{\mathop x\nolimits_i }^2} \cdot {f_i}} }}{{\sum {{f_i}} }} - {{\bar x}^2}} \]

μ – средняя ошибка выборки, рассчитанная с учетом поправки, на которую производится корректировка в случае бесповторного отбора;

t – коэффициент доверия, который находят при заданном уровне вероятности. Так для Р=0,997 по таблице значений интегральной функции Лапласа t=3

Величина предельной ошибки выборки может быть установлена с определенной вероятностью. Вероятность появления такой ошибки, равной или больше утроенной средней ошибки выборки, крайне мала и равна 0,003 (1–0,997). Такие маловероятные события считаются практически невозможными, а потому вероятность того, что эта разность превысит трехкратную величину средней ошибки, определяет уровень ошибки и составляет не более 0,3%.

Определение предельной ошибки выборки для доли

Условие:

Из готовой продукции, в порядке собственно-случайного бесповторного отбора, было отобрано 200 ц, из которых 8 ц оказалось испорчено. Можно ли полагать с вероятностью 0,954, что потери продукции не превысят 5%, если выборка составляет 1:20 часть ее размера?

Дано:

  • n =200ц – объем выборки (выборочная совокупность)
  • m =8ц  —  кол-во испорченной продукции
  • n:N = 1:20 – пропорция отбора, где N- объем совокупности (генеральная совокупность)
  • Р = 0,954 – вероятность

Определить: ∆ω< 5% (согласуется ли то, что потери продукции не превысят 5%)

Решение:

1. Определим выборочную долю-такую долю составляет испорченная продукция в выборочной совокупности:

2. Определим объем генеральной совокупности:

N=n*20=200*20=4000(ц) – количество всей продукции.                                           

3. Определим предельную ошибку выборки для доли продукции, обладающей соответствующим признаком, т.е. для доли испорченной продукции: Δ = t*μ,  где µ- средняя ошибка доли, обладающей альтернативным признаком, с учетом поправки, на которую производится корректировка в случае бесповторного отбора; t – коэффициент доверия, который находят при заданном уровне вероятности Р=0,954 по таблице значений интегральной функции Лапласа: t=2

4. Определим границы доверительного интервала для доли альтернативного признака в генеральной совокупности, т.е. какую долю испорченная продукция составит в общем объеме: поскольку доля испорченной продукции в выборочном объеме составляет ω = 0,04, то с учетом предельной ошибки ∆ω= 0,027 генеральная доля альтернативного признака (p) примет значения:

 ω-∆ω < p < ω+∆ω

  0.04-0.027< p < 0.04+0.027

0.013 < p < 0.067

Вывод: с вероятностью Р=0,954 можно утверждать, что доля испорченной продукции при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала (не менее 1,3% и не более 6,7%). Но остается вероятность того, что доля испорченной продукции может превысить 5% в пределах до 6,7%, что, в свою очередь, не согласуется с утверждением  ∆ω< 5%.

*******

Условие:

Менеджер магазина по опыту знает, что 25% входящих в магазин покупателей, совершают покупки. Предположим, что в магазин вошло 200 покупателей.

Определить:

  1. долю покупателей, совершивших покупки
  2. дисперсию выборочной доли
  3. среднее квадратическое отклонение выборочной доли
  4. вероятность того, что выборочная доля будет в пределах между 0,25 и 0,30

Решение:

В качестве генеральной доли (p) принимаем выборочную долю (ω) и определяем верхнюю границу доверительного интервала.
Зная критическую точку (по условию: выборочная доля будет в пределах 0,25-0,30), строим одностороннюю критическую область (правостороннюю).
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим Z
Этот же вариант можно рассматривать и как повторный отбор при условии, если один и тот же покупатель, не купив в 1-й раз, возвращается и совершает покупку.

\omega =\frac{m}{n}=\frac{50}{200}=0.25

\sigma =\sqrt{pq}=\sqrt{p(1-p)}=\sqrt{0.25*0.75}=0.433

\sigma {}^{2}=pq=0.25*0.75=0.1875
p\leq \omega +\Delta {}_{\omega }=\omega +t\mu=\omega +t*\sqrt{\frac{\omega (1-\omega )}{n}}=0.25+t*\sqrt{\frac{0.25(1-0.25)}{200}}=0.25 +t*0.0306\leq 0.30

\theta {}_{2}=\omega +Z\sqrt{\frac{\omega (1-\omega )}{n}}=0.25+Z*\sqrt{\frac{0.25(1-0.25)}{200}}=0.25+Z*0.0306=0.30

Z=1.634\Rightarrow P=89.68

В случае, если выборку рассматривать как бесповторную, необходимо среднюю ошибку скорректировать на поправочный коэффициент. Тогда, подставив скоррекированные значения предельной ошибки для выборочной доли, при определении критической области, изменятся Z и P

\mu =\sqrt{\frac{\omega (1-\omega )}{n}*(1-\frac{n}{N})}=\sqrt{\frac{0.25*0.75}{200}*(1-\frac{50}{200})}=0.0265

Z=1.885\Rightarrow P=93.98

Определение предельной ошибки выборки для средней

По данным 17 сотрудников фирмы, где работает 260 человек, среднемесячная заработная плата составила 360 у.е., при s=76 у.е. Какая минимальная сумма должна быть положена на счет фирмы, чтобы с вероятностью 0,98 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?

Дано:

  • n=17 — объем выборки (выборочная совокупность)
  • N=260 — объем совокупности (генеральная совокупность)
  • Хср.=360 — выборочная средняя
  • S=76 — выборочное среднеквадратическое отклонение
  • Р = 0,98 –  доверительная вероятность

Определить: минимально допустимое значение генеральной средней (нижнюю границу доверительного интервала).

Решение:

Для определения доверительного интервала для средней, необходимо найти предельную ошибку для средней: при Р=0,98 по таблице значений интегральной функции Лапласа — t=2.33

\Delta {\bar{x}}_{}= t*\sqrt{\frac{{S}^{2}}{n}*\left(1-\frac{n}{N} \right)}=2.33*\sqrt{\frac{{76}^{2}}{17}*\left(1-\frac{17}{260} \right)}=41.52

Из условия определения границ доверительного интервала для средней:

Хср.-Δх≤Х≤ Хср.+Δх определяем нижнюю границу (левосторонняя критическая область): 360-41,52=318,48

Отсюда: 318,48*260=82804,7 у.е. — такова минимальная сумма, которая должна быть положена на счет фирмы.

Смотри также по теме: