Система линейных алгебраических уравнений


Система линейных алгебраических уравнений

Системой линейных уравнений (СЛАУ) называют систему вида:

    \[\left\{ \begin{array}{l} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + ... + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}\\ {a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + ... + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}\\ ..............................................\\ {a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + ... + {a_{nn}}{x_n} = {b_n} \end{array} \right.\]

В матричной форме: 

    \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\\ {...}&{....}&{....}&{....}\\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}&{....}&{{a_{nn}}} \end{array}} \right)\]

    \[\Delta = \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\\ {...}&{....}&{....}&{....}\\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}&{....}&{{a_{nn}}} \end{array}} \right|\]

    \[X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {...}\\ {{x_n}} \end{array}} \right)\]

    \[B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}}\\ {...}\\ {{b_n}} \end{array}} \right)\]

  • А-матрица системы
  • Δ-определитель системы
  • X-столбец переменных
  • B-столбец свободных членов

Решением системы называется такая совокупность n чисел, при подстановке которых каждое уравнение обращается в верное равенство:

    \[\left( {x_1^0,x_2^0,x_3^0,...x_n^0} \right)\]

Метод обратной матрицы

Если матрица А невырожденная Δ=|A|≠0, то существует A-1. Умножим обе части системы A*X=B на матрицуA-1, получим:

    \[{A^{ - 1}}\left( {A \cdot X} \right) = {A^{ - 1}}B\]

Так как 

    \[\left( {{A^{ - 1}}A} \right)X = EX = E\]

то решением системы методом обратной матрицы будет столбец  

    \[X = {A^{ - 1}}B\]

Задача 1. Решить систему методом обратной матрицы:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 2{x_1} + 4{x_2} + 5{x_3} = 3\\ 3{x_1} + 2{x_2} - {x_3} = 4\\ {x_1} - 3{x_2} - 2{x_3} = 7 \end{array} \right.\]

Решение Запишем систему в матричном виде:

    \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4&5\\ 3&2&{ - 1}\\ 1&{ - 3}&{ - 2} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4\\ 7 \end{array}} \right)\]

Найдем определитель матрицы:

    \[\begin{array}{l} \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4&5\\ 3&2&{ - 1}\\ 1&{ - 3}&{ - 2} \end{array}} \right| = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4&5&2&4\\ 3&2&{ - 1}&3&2\\ 1&{ - 3}&{ - 2}&1&{ - 3} \end{array}} \right) = \\ \\ = 2 \cdot 2 \cdot ( - 2) + 4 \cdot ( - 1) \cdot 1 + 5 \cdot 3 \cdot ( - 3) - 5 \cdot 2 \cdot 1 - 2 \cdot ( - 1) \cdot ( - 3) - 4 \cdot 3 \cdot ( - 2) =\\ \\ =- 49 \ne 0 \end{array}\]

Следовательно, A-1 существует.

    \[A' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&1\\ 4&2&{ - 3}\\ 5&{ - 1}&{ - 2} \end{array}} \right)\]

    \[{A'_{11}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 3}\\ { - 1}&{ - 2} \end{array}} \right| = - 7\;\;{A'_{12}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 3}\\ 5&{ - 2} \end{array}} \right| = - 7\;\;{A'_{13}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 5&{ - 1} \end{array}} \right| = - 14\]

    \[{A'_{21}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1\\ { - 1}&{ - 2} \end{array}} \right| = 5\;\;{A'_{22}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 5&{ - 2} \end{array}} \right| = - 9\;\;{A'_{23}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 5&{ - 1} \end{array}} \right| = 17\]

    \[{A'_{31}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1\\ 2&{ - 3} \end{array}} \right| = - 11\;\;{A'_{32}} = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 4&{ - 3} \end{array}} \right| = 10\;\;{A'_{33}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 4&2 \end{array}} \right| = - 8\]

Присоединённая матрица имеет вид:

    \[\tilde A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 7}&{ - 7}&{ - 14}\\ 5&{ - 9}&{17}\\ { - 11}&{10}&{ - 8} \end{array}} \right)\]

Выписываем обратную матрицу по формуле:

    \[{A^{ - 1}} = - \frac{1}{{49}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 7}&{ - 7}&{ - 14}\\ 5&{ - 9}&{17}\\ { - 11}&{10}&{ - 8} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{7}}&{\frac{1}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ { - \frac{5}{{49}}}&{\frac{9}{{49}}}&{ - \frac{{17}}{{49}}}\\ {\frac{{11}}{{49}}}&{ - \frac{{10}}{{49}}}&{\frac{8}{{49}}} \end{array}} \right)\]

Полученная обратная матрица имеет вид:

    \[{A^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{7}}&{\frac{1}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ { - \frac{5}{{49}}}&{\frac{9}{{49}}}&{ - \frac{{17}}{{49}}}\\ {\frac{{11}}{{49}}}&{ - \frac{{10}}{{49}}}&{\frac{8}{{49}}} \end{array}} \right)\]

Тогда решением системы 

    \[X = {A^{ - 1}}B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{7}}&{\frac{1}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ { - \frac{5}{{49}}}&{\frac{9}{{49}}}&{ - \frac{{17}}{{49}}}\\ {\frac{{11}}{{49}}}&{ - \frac{{10}}{{49}}}&{\frac{8}{{49}}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4\\ 7 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 2}\\ 1 \end{array}} \right)\]

т.е. решение системы (3; -2; 1) или X1=3 X2= -2 X3=1  

Система линейных алгебраических уравнений в MS Excel

В EXCEL задача получения решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решается с помощью матричных функций, для чего исходную систему надо представить в виде матричного уравнения. Рассмотрим последовательность действий для получения решения СЛАУ на конкретном примере.

-12X1+12X2+23X3+6X4=120

-3X1+0.3X2-3X3+X4=-25

-67X1-3X2-51X3-73X4=536           

-91X1-6X2+4X3-13X4=-316

Для того, чтобы система  имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы, составленный из коэффициентов при переменных Х1, Х2, Х3, Х4, не был равен нулю. Рассчитаем определитель системы,  пользуясь функцией МОПРЕД. Рассчитанное значение определителя системы равно =12 >0, следовательно, можно продолжать процесс поиска решения. Из линейной алгебры известна матричная запись системы уравнений и матричное представление решения.

Перепишем систему  в виде АХ=В, где:

А — матрица коэффициентов при неизвестных

Х - вектор-столбец неизвестных

В - вектор-столбец свободных членов

    \[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 12}&{12}&{23}&6\\ { - 3}&{0.3}&{ - 3}&1\\ { - 67}&{ - 3}&{ - 51}&{ - 73}\\ { - 91}&{ - 6}&4&{ - 13} \end{array}} \right]\]

    \[X = \left[ \begin{array}{l} {X_1}\\ {X_2}\\ {X_3}\\ {X_4} \end{array} \right]\]

    \[B = \left[ \begin{array}{l} 120\\ - 25\\ 536\\ - 316 \end{array} \right]\]

Матричное решение уравнения выглядит так:

Х=А-1В, где А-1 – матрица, обратная к исходной.

  1. Вычислить определитель и выяснить, имеет ли система единственное решение.
  2. Вычислить матрицу, обратную к исходной.
  3. Найти произведение обратной матрицы и вектор-столбца свободных членов.

Смотри также по теме: