Средняя взвешенная


Средняя взвешенная

Средняя арифметическая взвешенная применяется в том случае, когда отдельные значения признака (варианты) встречаются в ряду распределения не с одинаковой частотой (f1 ≠ f2 ≠ …fn) и число вариантов не совпадает с частотой их появления.

Пример расчета:

При расчете средней арифметической по интервальному вариационному ряду необходимо сначала найти середину интервалов. Это и будут значения xi, а количество единиц совокупности в каждой группе fi. При наличии открытого интервала, его ширина принимается равной ширине примыкающего (рядом стоящего) интервала.

Стаж работника, лет

Число работников, чел.

(fi)

Середина  интервала, лет

(xi)

1-3

3-5

5-7

7-9

9-11

10

28

48

10

4

2

4

6

8

10

Итого

100

Х

1. Средний стаж работников предприятия определяется по средней арифметической взвешенной. Он будет равен:

    \[\overline x  = \frac{{\Sigma {xi}{fi}}}{{\Sigma {fi}}} \Rightarrow \]

    \[\overline x  = \frac{{{x1}{f1} + {x2}{f2} + ... + {xn}{fn}}}{{{f1} + {f2} + ... + {fn}}}\]

    \[\overline x  = \frac{{2*10 + 4*28 + 6*48 + 8*10 + 10*4}}{{100}} = \frac{{540}}{{100}} = 5,4\;\]

2. Размах вариации R=Хmax-Хmin зависит только от двух крайних значений признака: R=11-1=10(лет).

3. Взвешенное среднее  линейное отклонение (средний модуль)  является средней величиной из абсолютных значений отклонений индивидуальных значений признака  от общей средней арифметической величины:

    \[\begin{array}{l} \overline d  = \frac{{\sum \left| {{X_i} - \overline X } \right| \times {f_i}}}{{\sum {f_i}}} = \\ \\ \frac{{\left| {2 - 5,4} \right|*10 + \left| {4 - 5,4} \right|*28 + \left| {6 - 5,4} \right|*48 + \left| {8 - 5,4} \right|*10 + \left| {10 - 5,4} \right|*4}}{{100}} = \frac{{147.4}}{{100}} = 1.474\; \end{array}\]

4. Взвешенное среднее квадратическое отклонение  определяется как квадратный корень из дисперсии. На столько, в среднем, отклоняется средний стаж работников предприятия по каждой группе от общей средней (среднего стажа по предприятию).

    \[\mathop \sigma \nolimits_X  = \sqrt {\frac{{{{\sum {\left( {\mathop X\nolimits_i  - \mathop {\bar X}\nolimits_{} } \right)} }^2}*\mathop f\nolimits_i }}{{\sum {\mathop f\nolimits_i } }}} \]

или

    \[\mathop \sigma \nolimits_X  = \sqrt {\frac{{\sum {{{\mathop X\nolimits_i }^2}*\mathop f\nolimits_i } }}{{\sum {\mathop f\nolimits_i } }} - \mathop {{{\bar X}^2}}\nolimits_{} } \]

    \[\begin{array}{l} {\sigma _x} = \sqrt {\frac{{{{\left( {2 - 5,4} \right)}^2}*10 + {{\left( {4 - 5,4} \right)}^2}*28 + {{\left( {6 - 5,4} \right)}^2}*48 + {{\left( {8 - 5,4} \right)}^2}*10 + {{\left( {10 - 5,4} \right)}^2}*4}}{{100}}}  = \\ = \sqrt {\frac{{340}}{{100}}}  = 1,84 \end{array}\]

5. Коэффициент вариации характеризует колеблемость признака около средней. Если коэффициент вариации не превышает 33%, то совокупность, по рассматриваемому признаку, можно считать однородной. Данная совокупность характеризуется сильной вариацией, т.е. разброс значений по отдельным группам относительно общего среднего стажа по предприятию значителен.

    \[V = \frac{\sigma }{{\bar {\rm X}}}*100\,\%  = \frac{{1,84}}{{5,4}}*100\,\%  = 34,07\,\% \]

Техника расчета средней арифметической «способом моментов»

    \[\overline {x'}  = \frac{{\sum {\left( {\frac{{x - A}}{K}} \right) \cdot f} }}{{\sum f }}\]

Заработная плата

Число рабочих  

f

Центр интервала

 Х-А*

 Х’=(Х-А):К**

                              Х’f         

до 250

250 – 275

275 – 300

300 – 325

325 и более

10

15

18

12

5

237,5

262,5

287,5

312,5

337,5

- 50

- 25

   0

+25

+50

- 2

- 1

  0

+1

+2

- 20

-15

   0

+12

+10

Итого

60

 

 

 

 -13

* - в качестве (А) обычно берут значение х, стоящее в середине вариационного ряда (А=287,5)

** -( K) обычно равно ширине интервала (K=25)

    \[\overline {x'}  = \frac{{\sum {x' \cdot {f_i}} }}{{\sum {{f_i}} }} = \frac{{ - 13}}{{60}} =  - 0,2176\]

    \[\overline x  = \overline {x'}  \cdot K + A =  - 0,2167 \cdot 25 + 287,5 = 282,08\]

Смотри также по теме: