Вычисление определителя матрицы


Определители квадратных матриц

Необходимость введения определителя – числа, характеризующего квадратную матрицу А,–тесно связано с решением систем линейных уравнений. Определитель матрицы А обозначается |A|

Определителем матрицы первого порядка  A=a11, или определителем первого порядка, называется элемент a11: Δ1=|A|=a11

Например, пусть A=(3), тогда Δ1=|A|=3

Определителем матрицы второго порядка A=(aij), или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

    \[\Delta = \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = {a_{11}} \cdot {a_{22}} - {a_{12}} \cdot {a_{21}}\]

Определителем матрицы третьего порядка A=(aij), или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

    \[\begin{array}{l} \Delta = \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right| = \\ \\ {a_{11}} \cdot {a_{22}} \cdot {a_{33}} + {a_{12}} \cdot {a_{23}} \cdot {a_{31}} + {a_{21}} \cdot {a_{32}} \cdot {a_{13}} - \\ \\ - {a_{31}} \cdot {a_{22}} \cdot {a_{13}} - {a_{12}} \cdot {a_{21}} \cdot {a_{33}} - {a_{32}} \cdot {a_{23}} \cdot {a_{11}} \end{array}\]

При вычислении определителя третьего порядка воспользуемся способом Саррюса. Выписываем все элементы определителя и приписываем справа первые два столбца определителя:

    \[\Delta = \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\;\;\;\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{a_{31}}}&{{a_{32}}} \end{array}} \right)\]

Возьмём со знаком «+» произведение элементов по главной диагонали и двум ее параллельным линиям (т.е. знак произведения берём не изменяя) и со знаком «-» произведение элементов побочной диагонали и двум  параллельным ей линиям (т.е. знак произведения этих элементов изменится на противоположный). Взяв алгебраическую сумму, получим определитель третьего порядка.

Задача 1. Вычислить определитель 3-го порядка: 

    \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&1\\ 2&1&1\\ 1&1&2 \end{array}} \right|\]

Решение: 

    \[\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&1\\ 2&1&1\\ 1&1&2 \end{array}} \right| = 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot ( - 1) \cdot 2 - 1 \cdot 1 \cdot 1 = 5\]

    \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&1&1&{ - 1}\\ 2&1&1&2&1\\ 1&1&2&1&1 \end{array}} \right)\]

Свойства определителей

  1. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на –1.
  2. Если определитель имеет два  одинаковых столбца или две одинаковых строки, то он равен нулю.
  3. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ.
  4. Если все элементы некоторого столбца или строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
  5. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется, т. е. |A|=|AT|
  6. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
  7. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель λ, то величина определителя не изменится.

Следующее свойство определителя связано с понятиями минора и алгебраического дополнения. Минором Mij элемента aij матрицы A=(aij) (i,j=1,2,…,n) n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычёркиванием i-ой строки и j-го столбца. Например, минором элемента a32  матрицы третьего порядка является определитель второго порядка:

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)1+j:

    \[{A_{ij}} = {( - 1)^{i + j}} \cdot {M_{ij}}\]

Например:

    \[{A_{21}} = {( - 1)^{2 + 1}} \cdot {M_{21}} =  - {M_{21}}\]

    \[{A_{33}} = {( - 1)^{3 + 3}} \cdot {M_{33}} = {M_{33}}\]

8. (Теорема Лапласа) Определитель равен сумме произведений элементов любого столбца (строки) на их алгебраические дополнения, т.е. если A=(aij), то:

    \[\left| A \right| = {a_{i1}}{A_{i1}} + {a_{i2}}{A_{i2}} + ... + {a_{in}}{A_{in}} = \sum\limits_{s = 1}^n {{a_{is}}{A_{is}}} \]

(разложение по элементам i-ой строки; i=1,2,3,…,n);

    \[\left| A \right| = {a_{1j}}{A_{1j}} + {a_{2j}}{A_{2j}} + ... + {a_{nj}}{A_{nj}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}{A_{kj}}} \]

(разложение по элементам j-го столбца; j=1,2,…,n.).

Задача 2. Вычислить определитель матрицы: 

    \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&0&0\\ 4&{ - 1}&0&2\\ 0&{ - 3}&2&0\\ 5&{ - 2}&3&1 \end{array}} \right|\]

Решение.

Выберем столбец (или строку), содержащий больше всего нулей, например, первую строку, и разложим по ней определитель, используя свойство 8. Получим определитель третьего порядка , который найдём также по свойству 8 разложением, например по третьему столбцу:

    \[\begin{array}{l} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&0&0\\ 4&{ - 1}&0&2\\ 0&{ - 3}&2&0\\ 5&{ - 2}&3&1 \end{array}} \right| = - 1 \cdot {( - 1)^{1 + 1}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&2\\ { - 3}&2&0\\ { - 2}&3&1 \end{array}} \right| + 0 + 0 + 0 = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&2\\ { - 3}&2&0\\ { - 2}&3&1 \end{array}} \right| = \\ \\ = - \left[ {2 \cdot {{( - 1)}^{1 + 3}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&2\\ { - 2}&3 \end{array}} \right| + 0 + 1 \cdot {{( - 1)}^{3 + 3}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0\\ { - 3}&2 \end{array}} \right|} \right] = \\ \\ = - \left[ {2 \cdot ( - 9 + 4) + 0 + ( - 2 - 0)} \right] = 12 \end{array}\]

Вычисление определителя матрицы в MS Excel

Для вычисления определителя матрицы сформируем лист электронной таблицы MS Excel:

  • Определим исходную матрицу.
  • Определим место под результат.
  • Обратимся к мастеру функций, найдем функцию МОПРЕД , выполним постановку задачи.

Завершить выполнение работы одновременным нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter

*****

    \[\left\{ \begin{array}{l} 25.5 = 10c + 11.9b + 34.03a\\ 31.2 = 11.9c + 34.03b + 82.583a\\ 106.46 = 34.03c + 82.583b + 232.3219c \end{array} \right.\]

Порядок вычисления определителей матрицы для приведенной выше системы уравнений на конкретном примере параболы второго порядка смотри Метод наименьших квадратов
Вычисление определителя для транспонированной матрицы смотри п.V Сезонная корректировка временного ряда
Смотри также по теме: