Сезонная корректировка временного ряда


Построение мультипликативной модели Уt=Tt*Ct*St*Et с последующей сезонной корректировкой временного ряда

I.  Проведем  выравнивание  исходных  уровней  ряда  методом скользящей средней.

  • Просуммируем  уровни  ряда  последовательно  за  каждые  четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы производства.
  • Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
  • Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени,  для  чего  найдем  средние  значения  из  двух  последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние. (см. Метод скользящей средней)

Расчет индекса сезонных колебаний

Год

Квартал

Объем

производства

Скользящая средняя

Центрированная

скользящая средняя

Индекс

сезонных колебаний

2002

 

 

 

I

160

-

-

-

II

20

-

-

-

III

150

(160+20+150+100):4=107,50

(107,50+110,00):2=108,750

150:108,75=1,3793

IV

100

(20+150+100+170):4=110,00

(110,00+112,50):2=111,250

100:111,25=0,8989

2003

 

 

 

I

170

(150+100+170+30):4=112,50

(112,50+115,00):2=113,750

170:113,75=1,4945

II

30

(100+170+30+160):4=115,00

(115,00+117,50):2=116,250

  30:116,25=0,2581

III

160

(170+30+160+110):4=117,50

(117,50+120,00):2=118,750

160:118,75=1,3474

IV

110

(30+160+110+180):4=120,00

(120,00+120,00):2=120,000

 110:120,00=0,9167

2004

 

 

 

I

180

(160+110+180+30):4=120,00

(120,00+122,50):2=121,250

 180:121,25=1,4845

II

30

(110+180+30+170):4=122,50

(122,50+120,00):2=121,250

   30:121,25=0,2474

III

170

(180+30+170+100):4=120,00

(120,00+115,00):2=117,500

 170:117,50=1,4468

IV

100

(30+170+100+160):4=115,00

(115,00+117,50):2=116,250

100:116,25=0,8602

2005

 

 

 

I

160

(170+100+160+40):4=117,50

(117,50+118,75):2=118,125

160:118,125=1,3545

II

40

(100+160+40+175):4=118,75

(118,75+125,00):2=121,875

  40:121,875=0,3282

III

175

(160+40+175+125):4=125,00

(125,00+132,50):2=128,750

175:128,75=1,3592

IV

125

(40+175+125+190):4=132,50

(132,50+135,00):2=133,750

125:133,75=0,9346

2006

 

 

 

I

190

(175+125+190+50):4=135,00

(135,00+136,25):2=135,625

190:135,625=1,4009

II

50

(125+190+50+180):4=136,25

(136,25+137,50):2=136,875

50:136,875=0,3653

III

180

(190+50+180+130):4=137,50

-

-

IV

130

-

-

-

II. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные  скользящие средние. Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты S. Для этого найдем средние оценки сезонной компоненты за каждый квартал. Для этого предварительно необходимо произвести группировку всех индексов сезонных колебаний по соответствующим временным периодам (соответственно по годам и кварталам). Так же как и в аддитивной модели считается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной  компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4.

Расчет скорректированного индекса сезонных колебаний

Год

Квартал

Сумма

Средний

индекс

I

II

III

IV

2002

-

-

1,3793

0,8989

 

 

2003

1,4945

0,2581

1,3474

0,9167

 

 

2004

1,4845

0,2474

1,4468

0,8602

 

 

2005

1,3545

0,3282

1,3592

0,9346

 

 

2006

1,4009

0,3653

-

-

 

 

Ĵ ср.(кварт.)

1,4336

0,2997

1,3832

0,9026

4,0191

1,0048

Ĵ скоррект.

1,4268

0,2983

1,3766

 

0,8983

4,0000

1,0000

Имеем: 1,4336+0,29975+1,383185+0,9026=4,0191

Определим корректирующий коэффициент как отношение 4 : 4,0191=0,995241

Обычно сумма индексов се­зонности хотя и незначительно, но отличается от 4 (для четырех кварталов сумма индексов должна быть равна 4, а их средняя рав­на 1), для устранения этих расхождений определяется попра­вочный коэффициент, как отношение теоретической суммы ин­дексов (4,0) к фактической величине их суммы.

Скорректированные  значения  сезонной  компоненты получаются при умножении ее средней оценки на корректирующий коэффициент.

1,4336*0,995241+0,29975*0,995241+1,383185*0,995241+0,9026*0,995241=4

Проверим условие равенства  суммы значений сезонной компоненты=4:

1,4268+0,2983+1,3766+0,8983=4

III. Следующий шаг построения модели – оценка тренда. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения  сезонной  компоненты S. В  результате  получим  величины: Y : S = T * E,  которые  содержат  только тенденцию (T)  и случайную компоненту (E)

Квартал

Порядковый

номер квартала

Объем

производства

Сезонная

компонента

Тренд+ случайная компонента

Выравнивание

по тренду 

Тенденция c

учетом сезонности

Случайная

компонента

t

Y

S

Y/S=T+E

T

Ỹ=93,749+2,5388t

T*S

E=Y/(T*S)

I

1

160

1,4268

112,14

96,288

137,382

1,165

II

2

20

0,2983

67,04

98,827

29,482

0,678

III

3

150

1,3766

108,96

101,366

139,540

1,075

IV

4

100

0,8983

111,32

103,905

93,338

1,071

I

5

170

1,4268

119,15

106,443

151,871

1,119

II

6

30

0,2983

100,56

108,982

32,512

0,923

III

7

160

1,3766

116,23

111,521

153,519

1,042

IV

8

110

0,8983

122,45

114,060

102,461

1,074

I

9

180

1,4268

126,16

116,599

166,361

1,082

II

10

30

0,2983

100,56

119,138

35,542

0,844

III

11

170

1,3766

123,49

121,676

167,499

1,015

IV

12

100

0,8983

111,32

124,215

111,583

0,896

I

13

160

1,4268

112,14

126,754

180,850

0,885

II

14

40

0,2983

134,08

129,293

38,571

1,037

III

15

175

1,3766

127,13

131,832

181,479

0,964

IV

16

125

0,8983

139,15

134,370

120,706

1,036

I

17

190

1,4268

133,17

136,909

195,339

0,973

II

18

50

0,2983

167,60

139,448

41,601

1,202

III

19

180

1,3766

130,76

141,987

195,458

0,921

IV

20

130

0,8983

144,72

144,526

129,828

1,001

IV. Проведем аналитическое выравнивание по тренду. Определим трендовую компоненту (T) в мультипликативной модели. Методом наименьших квадратов (МНК) найдем оценки параметров линейного тренда. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни T*E. В результате получим уравнение тренда:  Ỹ=93,749+2,5388t

Подставляя в это уравнение значения  t =1, 2, …20, найдем теоретические (выровненные) уровни T для каждого момента времени.

V. Найдем уровни ряда, умножив значения T на соответствующие значения сезонной компоненты (S), получим трендовую компоненту, скорректированную на величину сезонных колебаний (T*S). Расчет ошибки (случайной компоненты) в мультипликативной  модели  производится  по формуле: E = Y /(T * S). 

Решение и определение параметров уравнения тренда методом матриц: Ỹ=93,749+2,5388t

 

См. также Компоненты и сезонная декомпозиция временного ряда