Вычисление обратной матрицы


Обратная матрица

Матрица  называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если A \cdot {A^{ - 1}} = {A^{ - 1}} \cdot A = E 

Обратная матрица  существует (и единственна) тогда и только тогда, когда определитель исходной матрицы А отличен от нуля \left| A \right| \ne 0. Такая матрица \left| A \right| \ne 0 называется невырожденной или не особенной, в противном случае \left| A \right| = 0– вырожденной или особенной.

Алгоритм вычисления обратной матрицы

  1. Находим определитель исходной матрицы. Если \left| A \right| \ne 0 , то {A^{ - 1}} существует.
  2. Находим транспонированную матрицу {A^T}.
  3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы  {A'_{ij}} = {A_{ji}} и составляем из них присоединённую матрицу \tilde A = ({\tilde a_{ij}}), где  {\tilde a_{ij}} = {A'_{ij}} = {A_{ji}} (i,j=1,…,n).
  4. Вычисляем обратную матрицу по формуле {A^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}} \cdot \tilde A где  \left| A \right| \ne 0 .
  5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы {A^{ - 1}} , исходя из определения A \cdot {A^{ - 1}} = {A^{ - 1}} \cdot A = E.

 Пример:

Задача: Найти матрицу обратную к матрице  A = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}2&4&5\\3&2&{ - 1}\\1&{ - 3}&{ - 2}\end{array}} \right)

Решение:

1.   \left| A \right| = \left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br /><br />
2&4&5\\<br /><br /><br />
3&2&{ - 1}\\<br /><br /><br />
1&{ - 3}&{ - 2}<br /><br /><br />
\end{array}} \right| = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br /><br />
2&4&5&2&4\\<br /><br /><br />
3&2&{ - 1}&3&2\\<br /><br /><br />
1&{ - 3}&{ - 2}&1&{ - 3}<br /><br /><br />
\end{array}} \right) =

 = 2 \cdot 2 \cdot ( - 2) + 4 \cdot ( - 1) \cdot 1 + 5 \cdot 3 \cdot ( - 3) - 5 \cdot 2 \cdot 1 - 2 \cdot ( - 1) \cdot ( - 3) - 4 \cdot 3 \cdot ( - 2) =  - 49 \ne 0.

Следовательно {A^{ - 1}} ,  существует.

2.    A' = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br /><br />
2&3&1\\<br /><br /><br />
4&2&{ - 3}\\<br /><br /><br />
5&{ - 1}&{ - 2}<br /><br /><br />
\end{array}} \right)

3.   {A'_{11}} = \left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br /><br />
2&{ - 3}\\<br /><br /><br />
{ - 1}&{ - 2}<br /><br /><br />
\end{array}} \right| =  - 7      {A'_{12}} =  - \left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br /><br />
4&{ - 3}\\<br /><br /><br />
5&{ - 2}<br /><br /><br />
\end{array}} \right| =  - 7      {A'_{13}} = \left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br /><br />
4&2\\<br /><br /><br />
5&{ - 1}<br /><br /><br />
\end{array}} \right| =  - 14

{A'_{21}} =  - \left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br /><br />
3&1\\<br /><br /><br />
{ - 1}&{ - 2}<br /><br /><br />
\end{array}} \right| = 5       {A'_{22}} = \left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br /><br />
2&1\\<br /><br /><br />
5&{ - 2}<br /><br /><br />
\end{array}} \right| =  - 9           {A'_{23}} =  - \left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br /><br />
2&3\\<br /><br /><br />
5&{ - 1}<br /><br /><br />
\end{array}} \right| = 17

{A'_{31}} = \left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br /><br />
3&1\\<br /><br /><br />
2&{ - 3}<br /><br /><br />
\end{array}} \right| =  - 11         {A'_{32}} =  - \left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br /><br />
2&1\\<br /><br /><br />
4&{ - 3}<br /><br /><br />
\end{array}} \right| = 10          {A'_{33}} = \left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br /><br />
2&3\\<br /><br /><br />
4&2<br /><br /><br />
\end{array}} \right| =  - 8

Т.е. присоединённая матрица имеет вид:    \tilde A = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br /><br />
{ - 7}&{ - 7}&{ - 14}\\<br /><br /><br />
5&{ - 9}&{17}\\<br /><br /><br />
{ - 11}&{10}&{ - 8}<br /><br /><br />
\end{array}} \right)

4. Выписываем обратную матрицу по формуле:

    \[{A^{ - 1}} = - \frac{1}{{49}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 7}&{ - 7}&{ - 14}\\ 5&{ - 9}&{17}\\ { - 11}&{10}&{ - 8} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{7}}&{\frac{1}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ { - \frac{5}{{49}}}&{\frac{9}{{49}}}&{ - \frac{{17}}{{49}}}\\ {\frac{{11}}{{49}}}&{ - \frac{{10}}{{49}}}&{\frac{8}{{49}}} \end{array}} \right)\]

Полученная обратная матрица имеет вид:

    \[{A^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{7}}&{\frac{1}{7}}&{\frac{2}{7}}\\ { - \frac{5}{{49}}}&{\frac{9}{{49}}}&{ - \frac{{17}}{{49}}}\\ {\frac{{11}}{{49}}}&{ - \frac{{10}}{{49}}}&{\frac{8}{{49}}} \end{array}} \right).\]

Вычисление обратной матрицы в MS Excel

Работу с матричной функцией МОБР в MS Excel следует выполнять в следующем порядке:

  • Задать исходную матрицу.
  • Отметить место для матрицы-результата.

Теперь найдем матричное выражение: Y=(FH-1)/29+K. Посчитаем определитель полученной матрицы. Поиск решения разобьем на ряд шагов:

  • Найдем матрицу обратную к матрице Н.
  • Умножим матрицы и H-1.
  • Результат поделим на 29.
  • Сложим полученную матрицу с матрицей К.
  • Найдем определитель полученной матрицы.

Обратиться к мастеру функций, найти функцию МОБР и выполнить постановку задачи.

Завершить выполнение работы одновременным нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter

 

Завершить выполнение работы одновременным нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter
Смотри также по теме: