Коэффициент Джини


Расчет коэффициента концентрации доходов Джини, моды, медианы

Распределение населения по душевому доходу (тыс. руб.)

Интервалы по размеру душевых доходов

Границы интервалов

Ширина интервала

Центр интервала

Численность группы

Накопл.

частота

Расчетные значения

Нижняя граница

Верхняя граница

Xmin

Xmax

h

Xi

fi

Σfi

Xifi

 

    \[\sum {{{\left( {{X_i} - \bar X} \right)}^2}} \]

 

    \[\sum {{{\left( {{X_i} - \bar X} \right)}^2}} {f_i}\]

<16

0

16

16

8

18

18

144

219,48

3950,62

16-32

16

32

16

24

22

40

528

1,40

30,90

32-48

32

48

16

40

14

54

560

295,33

4134,63

Суммы

Х

Х

Х

Х

54

Х

1232

516,21

8116,15

Средние

     

22,81

       

150,30

 

Данный вариационный ряд распределения представлен равными интервалами. 

1. Средняя арифметическая взвешенная:

    \[\overline x  = \frac{{\Sigma {x_i}{f_i}}}{{\Sigma {f_i}}} = \frac{{8 \cdot 18 + 24 \cdot 22 + 40 \cdot 14}}{{54}} = \frac{{1232}}{{54}} = 22.81\]

В среднем по всем группам (всей совокупности) среднедушевой доход составил 22,81 тыс. руб.

2. Дисперсия (средняя из квадратов отклонений отдельных значений от общей средней:

    \[\sigma _x^2 = \frac{{{{\sum {\left( {{X_i} - \bar X} \right)} }^2} \cdot {f_i}}}{{\sum {{f_i}} }} = \frac{{{{\left( {8 - 22.81} \right)}^2} \cdot 18 + {{\left( {24 - 22.81} \right)}^2} \cdot 22 + {{\left( {40 - 22.81} \right)}^2} \cdot 14}}{{54}} = \frac{{8116.15}}{{54}} = 150.3\]

3. Мода – наиболее часто встречающееся значение в ряду распределения:

    \[{M_o} = {X_{{M_o}}} + h\frac{{{f_2} - {f_1}}}{{\left( {{f_2} - {f_1}} \right) + \left( {{f_2} - {f_3}} \right)}} = 16 + 16\frac{{22 - 18}}{{(22 - 18) + (22 - 14)}} = 21.33\]

ХMo — нижняя граница модального интервала;

h – величина модального интервала;

f2 – локальная частота модального интервала;

f1 – локальная частота интервала, предшествующего модальному;

f3 – локальная частота интервала, следующего за модальным.

Наибольшая часть населения из 3-х групп располагает доходом 21,33 тыс. руб.

 

4. Медиана делит совокупность на две равные части:

    \[{M_e} = {X_{{M_e}}} + h\frac{{\frac{{\sum {{f_i}} }}{2} - \sum {{f_{{M_e} - 1}}} }}{{{f_{{M_t}}}}} = 16 + 16\frac{{\frac{{54}}{2} - 18}}{{22}} = 22.55\]

XMe – нижняя граница медианного интервала;

h – величина медианного интервала;

Sme-1 – сумма накопленных частот до медианного интервала;

fMe– локальная частота медианного интервала.

У половины населения из анализируемых групп душевой доход менее 22,55 тыс.руб.

 Данное распределение душевого дохода характеризуется правосторонней асимметрией:

    \[{M_o} < \,{M_e} < \,\bar X\; \to \;21.33 < 22.55 < 22.81\]

Коэффициент концентрации доходов Джини

Доля в общем объеме

Доля нарастающим итогом

 

 

Населения

Доходов

Населения

Доходов

Расчетные значения

pi

qi

 

 

pi*qi+1

pi+1*q

0,333

0,117

0,333

0,117

0,143

-

0,407

0,429

0,741

0,545

0,185

0,048

0,259

0,455

1

1

-

0,111

1

1

 

 

0,328

0,159

Коэффициент Джини характеризует степень неравенства в распределении доходов населения.

    \[{K_L} = \sum {{p_i}}  \cdot {q_{i + 1}} - \sum {{p_{i + 1}} \cdot {q_i}}  = 0.328 - 0.159 = 0.169\]

pi - доля населения, имеющего доход не выше, чем его максимальный уровень в i– группе.

q- доля доходов  i–й группы в общей сумме доходов населения, рассчитанная нарастающим итогом.                                                  

Коэффициент Джини изменяется в пределах от 0 до 1. Причем, чем больше его значение отклоняется от нуля и приближается к единице, тем в большей степени доходы сконцентрированы в руках отдельных групп населения.

Смотри также по теме: