Архивы по категориям: Корреляция взаимосвязанных рядов динамики

Прежде, чем коррелировать ряды динамики по уровням, необходимо проверить каждый из рядов на наличие или отсутствие в них автокорреляции.


Корреляционная зависимость между уровнями взаимосвязанных рядов динамики

При изучении развития явления во времени часто возникает необходимость оценить степень взаимосвязи в изменениях уровней 2-х или более рядов динамики различного содержания, но связанных между собой. Эта задача решается методами коррелирования:

  • уровней ряда динамики
  • отклонений фактических уровней от тренда
  • последовательных разностей

Коррелирование уровней динамических рядов с применением парного коэффициента корреляции правильно показывает тесноту связи лишь в том случае, если в каждом из них отсутствует автокорреляция. Наличие зависимости между последующими и предшествую­щими уровнями динамического ряда в статистической литерату­ре называют автокорреляцией.

Поэтому прежде, чем коррелировать ряды динамики по уровням, необходимо проверить каждый из рядов на наличие или отсутствие в них автокорреляции. Применение методов классической теории корреляции в ди­намических рядах связано с некоторыми особенностями. Преж­де всего, это наличие для большинства динамических рядов зави­симости последующих уровней от предыдущих.

Коэффициент автокорреляции вычисляется по непосред­ственным данным рядов динамики, когда фактические уровни од­ного ряда рассматриваются как значения факторного признака, а уровни этого же ряда со сдвигом на один период, принимаются в качестве результативного признака (этот сдвиг называется лагом). Коэффициент автокорреляции рассчитывается на основе фор­мулы коэффициента корреляции для парной зависимости:

\large r_{a}= \frac{\overline{y_{t}\cdot y_{t+1}}-\overline{y_{t}}\cdot \overline{y_{t+1}}}{\sigma _{y_{t}}\cdot \sigma _{y_{t+1}}}

где:

  • y– фактические уровни ряда,
  • yt+1– уровни того же ряда со сдвигом на 1 период (коэффициент автокорреляции первого порядка).

Примечание: во избежание путаницы, следует обратить внимание на порядок, по которому будет производиться сдвиг уровней, а именно, вниз или вверх. Соответственно и в формулах по разным источникам, ряд со сдвигом  отображают либо так yt-1  либо yt+1

Формула для расчета коэффициента автокорреляции уровней ряда 1-го порядка:

Формула для расчета коэффициента автокорреляции уровней ряда 2-го порядка:

Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду, фактическое значение коэффициента автокорреляции сопоставляют с табличным для 5% или 1% уровня значимости (т. е.  по величине вероятности допустить ошибку при принятии гипотезы о независимости уровней ряда). Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается и, наоборот, в противном случае, отвергается.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить структуру ряда, т. е. определить присутствие в ряде той или иной компоненты. Так, если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка m, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в m моментов времени. Если же ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений:

  • либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
  • либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Необходимо подчеркнуть, что линейные коэффициенты автокорреляции характеризуют тесноту только линейной связи текущего и предыдущих уровней ряда. Поэтому, по коэффициентам автокорреляции можно судить только о наличии или отсутствии линейной зависимости (или близкой к линейной). Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако, при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Для проверки ряда на наличие нелинейной тенденции рекомендуется вычислить линейные коэффициенты автокорреляции для временного ряда, состоящего из логарифмов исходных уровней. Отличные от нуля значения коэффициентов автокорреляции будут свидетельствовать о наличии нелинейной тенденции.

Пример расчета:

Коэффициент автокорреляции 1 порядка

Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровень. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило: максимальный лаг не должен превышать n : 4 (n-число уровней ряда). Исходный ряд состоял из 8 уровней. Расчет производится не по 8, а по 7 парам наблюдений. Получаем следующие данные:

yt

14017

14909

15333.5

15381.1

15548.8

22214.2

32267.6

yt — 1

14909

15333.5

15381.1

15548.8

22214.2

32267.6

42597.5

Для расчета коэффициента автокорреляции, необходимо рассчитать параметры уравнения авторегрессии:

Линейный коэффициент автокорреляции (L=1):

yt

yt-1

yt 2

yt-1 2

yt • yt-1

14017

14909

196476289

222278281

208979453

14909

15333.5

222278281

235116222.25

228607151.5

15333.5

15381.1

235116222.25

236578237.21

235846096.85

15381.1

15548.8

236578237.21

241765181.44

239157647.68

15548.8

22214.2

241765181.44

493470681.64

345404152.96

22214.2

32267.6

493470681.64

1041198009.76

716798919.92

32267.6

42597.5

1041198009.76

1814547006.25

1374519091

129671.2

158251.7

2666882902.3

4284953619.55

3349312512

Так как коэффициент автокорреляции первого порядка оказался высоким, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Проверка значимости коэффициента автокорреляции дает следующий результат:

По таблице распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область) с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=5 находим: tкрит (n-m-1; α/2) > (5; 0.025) = 2.571. Поскольку 2,16<2,571 (tнабл < tкрит), то принимаем гипотезу о равенстве  коэффициента автокорреляции =0, что, в свою очередь, подтверждает наличие сильной нелинейной тенденции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически — не значим.

Коэффициент автокорреляции 2 порядка

Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка

Теперь cдвигаем исходный ряд на 2 уровня. Исходный ряд состоял из 8 уровней. Расчет производится не по 8, а уже по 6 парам наблюдений. Получаем следующую таблицу:

yt

14017

14909

15333.5

15381.1

15548.8

22214.2

yt — 2

15333.5

15381.1

15548.8

22214.2

32267.6

42597.5

Проведя аналогичные расчеты, как при сдвиге исходного ряда на 1 уровень, получаем:

Линейный коэффициент автокорреляции (L=2):

yt

yt-2

yt 2

yt-2 2

yt • yt-2

14017

15333.5

196476289

235116222.25

214929669.5

14909

15381.1

222278281

236578237.21

229316819.9

15333.5

15548.8

235116222.25

241765181.44

238417524.8

15381.1

22214.2

236578237.21

493470681.64

341678831.62

15548.8

32267.6

241765181.44

1041198009.76

501722458.88

22214.2

42597.5

493470681.64

1814547006.25

946269384.5

97403.6

143342.7

1625684892.54

4062675338.55

2472334689.2

Коэффициент автокорреляции второго порядка также оказался высоким — исследуемый ряд содержит только тенденцию. Но проверка значимости коэффициента автокорреляции опять не подтверждает значимость коэффициента автокорреляции:

По таблице распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область) с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=4 находим: tкрит (n-m-1; α/2) > (4; 0.025) = 2.776. Поскольку 1,73<2,776 (tнабл < tкрит), то принимаем гипотезу о равенстве  коэффициента автокорреляции =0, тем самым подтверждая наличие сильной нелинейной тенденции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически — не значим.

Коэффициенты автокорреляции в MS Excel

Для расчета значений автокорреляционной функции в MS Excel целесообразно использовать функцию КОРРЕЛ (массив1; массив2). Так, если уровни исходного временного ряда располагаются в ячейках А1:А20, то для расчета коэффициентов автокорреляции можно вводить функции:

r1: =КОРРЕЛ (А1:А19; А2:А20)

r2: =КОРРЕЛ (А1:А18; А3:А20)

r3: =КОРРЕЛ (А1:А17; А4:А20)

r4:=КОРРЕЛ  (А1:А16; А5:А20)

И т. д., постоянно сдвигая диапазон ячеек массива 1-вверх, массива 2- вниз, в зависимости от количества уровней в ряду динамики.

Остальные коэффициенты автокорреляции рассчитаем в MS Excel:

Лаг

Коэффициент автокорреляции уровней

Коррелограмма

1

0,96538

**********

2

0,86291

********

3

0,74906

*******

4

0,88313

*********

При анализе наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции уровней первого и четвертого порядков. Следовательно, исследуемый ряд содержит тенденцию и циклические колебания.

Проверка значимости коэффициентов

Существует другая методика проверки значимости коэффициентов автокорреляции, что, в свою очередь, дает основания подтвердить (отклонить) наличие в ряду динамики автокорреляции.

Значимость каждого в отдельности коэффициента автокорреляции принято проверять с помощью критерия стандартной  ошибки.  С его помощью удается выявить среди запаздывающих переменных те, которые необходимо включить в модель. Коэффициент автокорреляции можно считать значимым, если не выполняется неравенство с принятым уровнем надежности (95%):

    \[- 1.96\frac{1}{{\sqrt n }}\; \le \;{r_k}\; \le 1.96\frac{1}{{\sqrt n }}\]

где  n  – число пар наблюдений временного ряда, k  – лаг (смещение данных ряда). Если рассчитанное значение автокорреляции  попадает  в этот  интервал, то можно сделать вывод, что данные не показывают наличие автокорреляции k-го порядка с 95% уровнем надежности:

Для r1 объем  выборки составляет (n-1)=(8-1)=7 пар наблюдений:

    \[- 1.96\frac{1}{{\sqrt 7 }}\; \le \;{r_1}\; \le 1.96\frac{1}{{\sqrt 7 }}\; \Rightarrow \; - 0.7408\; \le \;0.9654\; \le \;0.7405\]

Неравенство не выполняется – наличие автокорреляции.

Для r2 объем  выборки составляет (n-2)=(8-2)=6 пар наблюдений:

    \[- 1.96\frac{1}{{\sqrt 6 }}\; \le \;{r_2}\; \le 1.96\frac{1}{{\sqrt 6 }}\; \Rightarrow \; - 0.8001\; \le \;0.8629\; \le \;0.8001\]

Неравенство не выполняется – наличие автокорреляции. 

Для r3 объем  выборки составляет (n-3)=(8-3)=5 пар наблюдений:

    \[- 1.96\frac{1}{5}\; \le \;{r_3}\; \le 1.96\frac{1}{{\sqrt 5 }}\; \Rightarrow \; - 0.8765\; \le \;0.7491\; \le \;0.8756\]

Неравенство выполняется – автокорреляция отсутствует.

Для r4 объем  выборки составляет (n-4)=(8-4)=4 пары наблюдений:

    \[- 1.96\frac{1}{4}\; \le \;{r_4}\; \le 1.96\frac{1}{{\sqrt 4 }}\; \Rightarrow \; - 0.98\; \le \;0.8831\; \le \;0.98\]

Неравенство выполняется –  автокорреляция отсутствует.

Данный анализ подтвердил наличие автокорреляции в ряду динамики, что дало основание отклонить применение парного линейного коэффициента корреляции при коррелировании уровней. В этом случае необходимо коррелировать отклонения или последовательные разности (см. ниже корреляция взаимосвязанных рядов динамики). Статистическая недостоверность коэффициентов корреляции подтвердила наличие в ряду динамики сильной нелинейной тенденции, для выявления которой необходимо провести дополнительный анализ, а также циклические колебания с периодичностью в k моментов времени. Конечно же, важным моментом анализа является сама содержательная характеристика исследуемого показателя (в данном примере он обезличен, но на практике этот показатель подвержен сильному влиянию конъюнктуры рынка по объему его производства и международных цен, что, в свою очередь, дает основание утверждать о присутствии циклической компоненты).

Аналитическое выравнивание по параболе 2-го порядка и анализ коррелированности отклонений исходного уровня (yi) от выравненного (yt) с  использованием статистики  Дарбина-Уотсона, дает следующие результаты:

yi

yt= 1048.72t2 -5775.81t+20782.31

ei = yi-yt

e2

(eiei-1)2

14017

16055.22

-2038.22

4154344.17

0

14909

13425.58

1483.42

2200547.96

12401985.18

15333.5

12893.38

2440.12

5954201.3

915272.61

15381.1

14458.62

922.48

850961.22

2303254.3

15548.8

18121.32

-2572.52

6617851.19

12214983.39

22214.2

23881.46

-1667.26

2779752.33

819494.81

32267.6

31739.05

528.55

279369.51

4821595.15

42597.5

41694.08

903.42

816169.2

140525.02

23653196.89

33617110.46

 

Критические значения d1(dL) и d2 (dU) определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости (α) и числа наблюдений n = 8, где количество объясняющих переменных m=1. Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие: d1 < DW и d2 < DW < 4 — d2. По таблице распределений  Дарбина-Уотсона для n=8 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d1 = 1.08; d2 = 1.36. Поскольку 1.08 < 1.42 и 1.36 < 1.42 < 4 — 1.36, то автокорреляция остатков отсутствует.

В зависимости от величины и знака расчетного значения статистики Дарбина-Уотсона, возможны следующие ситуации.

Возможные варианты:

1. Если коэффициент автокорреляции является положительной величиной (DW>0), то при проверке гипотез возможно возникновение следующих ситуаций:

  • Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критического значения его нижней границы DW<d1, то нулевая гипотеза (H0) об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии отклоняется.
  • Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона больше критического значения его верхней границы DW>d2, то нулевая гипотеза (H0) об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.
  • Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона находится между верхней и нижней критическими границами d1<DW< d2 нет достаточных оснований для принятия единственно правильного решения, необходимы дополнительные исследования.

2. Если коэффициент автокорреляции является отрицательной величиной (DW<0), то при проверке гипотез возможно возникновение следующих ситуаций:

  • Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона больше критической величины (4–d1) DW>4–d1, то нулевая гипотеза (H0) об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии отклоняется
  • Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критической величины (4–d2) DW<4–d2, то нулевая гипотеза (H0) об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.
  • Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона находится в критическом интервале между величинами (4–d1) и (4–d24–d1<DW<4–d2, то достаточных оснований для принятия единственно правильного решения нет, необходимы дополнительные исследования.

 

Данный временной ряд наилучшим образом аппроксимируется параболой 3-го порядка, нежели параболой 2-го порядка, тем самым, подтверждая сильную нелинейную тенденцию ряда (R2=0.9898).

Далее, для анализа второго временного ряда, который будет выбран в качестве взаимосвязанного с рассмотренным выше, так же необходимо провести анализ на наличие (отсутствие) автокорреляции. Затем произвести расчет и анализ коэффициента корреляции 2-х взаимосвязанных рядов динамики по нижеприведенным формулам.

Взаимосвязанные ряды динамики

Применение корреляции в динамических рядах имеет ряд особенностей, недоучет которых не позволяет получить пра­вильной оценки взаимосвязи между рядами динамики, которые, в свою очередь, рассматриваются как результативный и факторный признаки.

В рядах динамики из-за автокорреляции (влияние изме­нений уровней предыдущих рядов на последующие), необходи­мо из уровней каждого ряда исключить трендосновную тенденцию, налагаемую на ряд развитием во времени и най­ти корреляцию отклонений от тренда по формулам:

где: dy (dx) — остаточные отклонения фактических уровней ряда от выровненных, соответственно, для уровней временного ряда, принятого в качестве результативного (dy) и в качестве факторного (dx) признаков, либо использовать последовательные разности уровней взаимосвязанных рядов динамики (цепные абсолютные приросты) — (Δx,  Δy).

Коррелируя отклонения или последовательные разности взаимосвязанных динамических рядов, при переходе от самих уровней к их отклонениям от выровненных значений, исключается влияние общей тенденции на колеблемость (изменчивость) самих уровней.

Смотри также: