I. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней.
- Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы производства.
- Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
- Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние. (см. Метод скользящей средней)
Расчет индекса сезонных колебаний
|
Год |
Квартал |
Объем производства
|
Скользящая средняя |
Центрированная скользящая средняя |
Индекс сезонных колебаний |
|
2002
|
I |
160 |
– |
– |
– |
|
II |
20 |
– |
– |
– |
|
|
III |
150 |
(160+20+150+100):4=107,50 |
(107,50+110,00):2=108,750 |
150:108,75=1,3793 |
|
|
IV |
100 |
(20+150+100+170):4=110,00 |
(110,00+112,50):2=111,250 |
100:111,25=0,8989 |
|
|
2003
|
I |
170 |
(150+100+170+30):4=112,50 |
(112,50+115,00):2=113,750 |
170:113,75=1,4945 |
|
II |
30 |
(100+170+30+160):4=115,00 |
(115,00+117,50):2=116,250 |
30:116,25=0,2581 |
|
|
III |
160 |
(170+30+160+110):4=117,50 |
(117,50+120,00):2=118,750 |
160:118,75=1,3474 |
|
|
IV |
110 |
(30+160+110+180):4=120,00 |
(120,00+120,00):2=120,000 |
110:120,00=0,9167 |
|
|
2004
|
I |
180 |
(160+110+180+30):4=120,00 |
(120,00+122,50):2=121,250 |
180:121,25=1,4845 |
|
II |
30 |
(110+180+30+170):4=122,50 |
(122,50+120,00):2=121,250 |
30:121,25=0,2474 |
|
|
III |
170 |
(180+30+170+100):4=120,00 |
(120,00+115,00):2=117,500 |
170:117,50=1,4468 |
|
|
IV |
100 |
(30+170+100+160):4=115,00 |
(115,00+117,50):2=116,250 |
100:116,25=0,8602 |
|
|
2005
|
I |
160 |
(170+100+160+40):4=117,50 |
(117,50+118,75):2=118,125 |
160:118,125=1,3545 |
|
II |
40 |
(100+160+40+175):4=118,75 |
(118,75+125,00):2=121,875 |
40:121,875=0,3282 |
|
|
III |
175 |
(160+40+175+125):4=125,00 |
(125,00+132,50):2=128,750 |
175:128,75=1,3592 |
|
|
IV |
125 |
(40+175+125+190):4=132,50 |
(132,50+135,00):2=133,750 |
125:133,75=0,9346 |
|
|
2006
|
I |
190 |
(175+125+190+50):4=135,00 |
(135,00+136,25):2=135,625 |
190:135,625=1,4009 |
|
II |
50 |
(125+190+50+180):4=136,25 |
(136,25+137,50):2=136,875 |
50:136,875=0,3653 |
|
|
III |
180 |
(190+50+180+130):4=137,50 |
– |
– |
|
|
IV |
130 |
– |
– |
– |
II. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты S. Для этого найдем средние оценки сезонной компоненты за каждый квартал. Для этого предварительно необходимо произвести группировку всех индексов сезонных колебаний по соответствующим временным периодам (соответственно по годам и кварталам). Так же как и в аддитивной модели считается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4.
Расчет скорректированного индекса сезонных колебаний
|
Год |
Квартал |
Сумма |
Средний индекс |
|||
|
I |
II |
III |
IV |
|||
|
2002 |
– |
– |
1,3793 |
0,8989 |
|
|
|
2003 |
1,4945 |
0,2581 |
1,3474 |
0,9167 |
|
|
|
2004 |
1,4845 |
0,2474 |
1,4468 |
0,8602 |
|
|
|
2005 |
1,3545 |
0,3282 |
1,3592 |
0,9346 |
|
|
|
2006 |
1,4009 |
0,3653 |
– |
– |
|
|
|
Ĵ ср.(кварт.) |
1,4336 |
0,2997 |
1,3832 |
0,9026 |
4,0191 |
1,0048 |
|
Ĵ скоррект. |
1,4268 |
0,2983 |
1,3766
|
0,8983 |
4,0000 |
1,0000 |
Имеем: 1,4336+0,29975+1,383185+0,9026=4,0191
Определим корректирующий коэффициент как отношение 4 : 4,0191=0,995241
Обычно сумма индексов сезонности хотя и незначительно, но отличается от 4 (для четырех кварталов сумма индексов должна быть равна 4, а их средняя равна 1), для устранения этих расхождений определяется поправочный коэффициент, как отношение теоретической суммы индексов (4,0) к фактической величине их суммы.
Скорректированные значения сезонной компоненты получаются при умножении ее средней оценки на корректирующий коэффициент.
1,4336*0,995241+0,29975*0,995241+1,383185*0,995241+0,9026*0,995241=4
Проверим условие равенства суммы значений сезонной компоненты=4:
1,4268+0,2983+1,3766+0,8983=4
III. Следующий шаг построения модели – оценка тренда. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты S. В результате получим величины: Y : S = T * E, которые содержат только тенденцию (T) и случайную компоненту (E)
|
Квартал |
Порядковый номер квартала |
Объем производства |
Сезонная компонента |
Тренд+ случайная компонента
|
Выравнивание по тренду
|
Тенденция c учетом сезонности |
Случайная компонента |
|
t |
Y |
S |
Y/S=T+E |
T Ỹ=93,749+2,5388t |
T*S |
E=Y/(T*S) |
|
|
I |
1 |
160 |
1,4268 |
112,14 |
96,288 |
137,382 |
1,165 |
|
II |
2 |
20 |
0,2983 |
67,04 |
98,827 |
29,482 |
0,678 |
|
III |
3 |
150 |
1,3766 |
108,96 |
101,366 |
139,540 |
1,075 |
|
IV |
4 |
100 |
0,8983 |
111,32 |
103,905 |
93,338 |
1,071 |
|
I |
5 |
170 |
1,4268 |
119,15 |
106,443 |
151,871 |
1,119 |
|
II |
6 |
30 |
0,2983 |
100,56 |
108,982 |
32,512 |
0,923 |
|
III |
7 |
160 |
1,3766 |
116,23 |
111,521 |
153,519 |
1,042 |
|
IV |
8 |
110 |
0,8983 |
122,45 |
114,060 |
102,461 |
1,074 |
|
I |
9 |
180 |
1,4268 |
126,16 |
116,599 |
166,361 |
1,082 |
|
II |
10 |
30 |
0,2983 |
100,56 |
119,138 |
35,542 |
0,844 |
|
III |
11 |
170 |
1,3766 |
123,49 |
121,676 |
167,499 |
1,015 |
|
IV |
12 |
100 |
0,8983 |
111,32 |
124,215 |
111,583 |
0,896 |
|
I |
13 |
160 |
1,4268 |
112,14 |
126,754 |
180,850 |
0,885 |
|
II |
14 |
40 |
0,2983 |
134,08 |
129,293 |
38,571 |
1,037 |
|
III |
15 |
175 |
1,3766 |
127,13 |
131,832 |
181,479 |
0,964 |
|
IV |
16 |
125 |
0,8983 |
139,15 |
134,370 |
120,706 |
1,036 |
|
I |
17 |
190 |
1,4268 |
133,17 |
136,909 |
195,339 |
0,973 |
|
II |
18 |
50 |
0,2983 |
167,60 |
139,448 |
41,601 |
1,202 |
|
III |
19 |
180 |
1,3766 |
130,76 |
141,987 |
195,458 |
0,921 |
|
IV |
20 |
130 |
0,8983 |
144,72 |
144,526 |
129,828 |
1,001 |
IV. Проведем аналитическое выравнивание по тренду. Определим трендовую компоненту (T) в мультипликативной модели. Методом наименьших квадратов (МНК) найдем оценки параметров линейного тренда. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни T*E. В результате получим уравнение тренда: Ỹ=93,749+2,5388t
Подставляя в это уравнение значения t =1, 2, …20, найдем теоретические (выровненные) уровни T для каждого момента времени.
V. Найдем уровни ряда, умножив значения T на соответствующие значения сезонной компоненты (S), получим трендовую компоненту, скорректированную на величину сезонных колебаний (T*S). Расчет ошибки (случайной компоненты) в мультипликативной модели производится по формуле: E = Y /(T * S).
См. также Компоненты и сезонная декомпозиция временного ряда
