№ 3 Найти наименьший положительный корень уравнения комбинированным методом с точностью до 0

№ 3
Найти наименьший положительный корень уравнения комбинированным методом с точностью до 0,0001.
ln(3x) – sin(3x) = 0
Краткая теоретическая часть:
Суть комбинированного метода состоит в разбиении отрезка [a,b] на три отрезка с помощью хорды и касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения хорды с осью абсцисс до точки пересечения касательной с осью абсцисс, на котором функция меняет знак и содержит решение. Построение хорд и касательных продолжается до достижения необходимой точности решения ε.Условия для применения метода:
f'(x)≠0 и f»(x)≠0
Условие начальной точки метода хорд:fx*f»x<0
Условие начальной точки метода касательных:fx*f»x>0
Если fa*f»a<0, то:
a=a-fa*a-bfa-f(b)
b=b-fbf'(b)
иначе:
a=a-faf'(a)
b=b-fb*b-afb-f(a)
Критерий окончания итераций: a-b2≤ε
Аналитическое решение заданного уравнения ln(3x) – sin(3x) = 0 найти невозможно.

Решение:

Отделим корни уравнения графическим методом:
Преобразуем исходное уравнение ln(3x) – sin(3x) = 0 к ln3x= sin(3x)
и построим на одной числовой оси функции f1x=ln3x и f2x=sin3x:

Точка пересечения графиков функций и есть корень уравнения.
Отрезок локализации [0,5;1].
Проверим выполнение условий сходимости метода:
f’x=1x-3cos⁡(3x)
f»x=-1×2+9sin⁡(3x)
Первая и вторая производная не обращаются в ноль на отрезке локализации.
Условие начальной точки метода хорд выполняется для x=0.5: f0,5*f»0,5<0
Условие начальной точки метода касательных выполняется для x=1: f1*f»1>0
i
a
b
f(a)
f(b)
f'(b)
a-b2
0 0,5 1 -0,59203 0,957492 3,969977 0,25
1 0,691036 0,758817 -0,14742 0,06143 3,263436 0,03389
2 0,73888 0,739993 -0,0026 0,00092 3,164971 0,000556
3 0,739702 0,739702 -6,4E-07 2,26E-07 3,163418 1,37E-07
Численное решение уравнения x=0,7397 найдено с заданной точностью 0,0001 за три итерации.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...