№ 47 Даны координаты вершин треугольной пирамиды A1A2A3A4 A1-1

№ 47: Даны координаты вершин треугольной пирамиды A1A2A3A4
A1-1;2;3, A20;2;4,A31;-2;3,A43;5;4
Найти: 1) длину ребра A1A2; 2) угол между рёбрами A1A2 и A1A4; 3) площадь грани A1A2A3; 4) объём пирамиды A1A2A3A4; 5) уравнение прямой A1A4; 6) уравнение плоскости A1A2A3 и построить эту плоскость; 7) угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3.
Решение.
1) Длина ребра A1A2:
d=A1A2=x2-x12+y2-y12+z2-z12=
=0—12+2-22+4-32=2

2) Составим вначале уравнения прямых A1A2 и A1A4, воспользовавшись формулой:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1
Имеем:
A1A2: x+10+1=y-22-2=z-34-3 или x+11=y-20=z-31
A1A4: x+13+1=y-25-2=z-34-3 или x+14=y-23=z-31
Тогда косинус угла между этими рёбрами
cosφ=m1m2+n1n2+p1p2m12+n12+p12∙m22+n22+p22=1∙4+0∙3+1∙11+0+1∙16+9+1=
=552≈0,6934, откуда φ≈46,1°

3) Площадь грани вычислим по формуле
S=12A1A2;A1A3
Составим вначале уравнение ребра A1A3
A1A3: x+11+1=y-2-2-2=z-33-3 или x+12=y-2-4=z-30
Тогда векторное произведение:
A1A2×A1A3=ijk1012-40=i∙01-40-j∙1120+k∙102-4=
=4i+2j-4k
Тогда
S=1242+22+-42=1236=3кв. ед..

4) Объем пирамиды
V=16A1A2×A1A3∙A1A4
Находим смешанное произведение:
A1A2×A1A3∙A1A4=1012-40431=-4+6+16=18
Следовательно:
V=16∙18=3куб. ед.

5) Уравнение прямой A1A2 было найдено в пункте 2:
x+11=y-20=z-31

6) Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
Имеем:
x+1y-2z-30+12-24-31+1-2-23-3=x+1y-2z-31012-40=x+1∙01-40-
-y-2∙1120+z-3∙102-4=4x+1+2y-2-4z-3=
=22x+y-2z+6.
Следовательно, уравнение плоскости A1A2A3 имеет вид
2x+y-2z+6=0

Читайте также:  Найдите валовой выпуск каждой отрасли в прошедшем году запишите вектор валового выпуска d для прошедшего года

7) Угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3 определим по формуле:
sinα=Am+Bn+CpA2+B2+C2∙m2+n2+p2
Находим
sinα=2∙4+1∙3+-2∙14+1+4∙16+9+1=9234=326≈0,5883 и α=36°

Сделаем чертёж плоскости A1A2A3.

Решение:

1)A1A2=2;2)φ≈46,1°;3)S=3кв. ед.;4)V=3куб. ед.;
5)x+11=y-20=z-31;6)2x+y-2z+6=0;7)α=36°.

№ 57: Дать графическую иллюстрацию системы неравенств.
x≤2x+y-2≥0x2+y2≤7+6y
Решение.
Записываем уравнения граничных прямых и строим их графики на плоскости в выбранной системе координат.
Первое уравнение представляет собой вертикальную прямую x=2. Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Точка O(0;0) удовлетворяет данному неравенству x≤20<2, следовательно, данная точка лежит в полуплоскости. Отмечаем это на рисунке.
Второе уравнение представляет собой прямую x+y-2=0. Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Точка O(0;0) не удовлетворяет данному неравенству x+y-2≥00+0-2=-2<0, следовательно, данная точка не лежит в полуплоскости. Отмечаем это на рисунке.
Третье уравнение:
x2+y2=7+6y; x2+y2-6y+9-9=7; x2+y-32=42
Это уравнение окружности радиуса R=4 с центром в точке C0;3. Проверим, удовлетворяет ли точка C данному неравенству:
02+32≤7+6∙3; 9≤25
Следовательно, часть плоскости, находящая внутри окружности, удовлетворяет данному неравенству.
Пересечение полученных полуплоскостей и сами линии, ограничивающие полученную область, дают графическую иллюстрацию системы неравенств.

Читайте также:  Оптимальное планирование Постановка задачи предприятие располагает ресурсами сырья

№ 67: Выделив полный квадрат, определить тип кривой 2-го порядка и построить её.
y2-6y-9x=0
Решение.
Преобразуем данное уравнение следующим образом
y2-6y=9x
y2-6y+9-9=9x
y-32=9x+1.
Произведём параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало точку O’1;3. Формулы преобразования координат имеют вид
x=x’-1;y=y’+3
После преобразования координат, получим уравнение:
y’2=9x’

Вершина параболы находится в точке O1-1;3 и p=9. Т.к. p>0, то ветви параболы обращены в положительную сторону оси x. Построим линию.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...