1.3. В ЛВС имеется 20 серверов, функционирующих в режиме разделения времени, и 600 рабочих станций. С каждой рабочей станции: 2 раза в час, 1 раз в час, 1 раз в 4 часа случайным образом на серверы приходит задача. Длительности решения задач экспоненциально распределены со средним 12 минут.
Вычислить:
Вероятность того, что задаче придется ожидать в очереди, и среднее время ожидания;
Вероятность того, что время ожидания превысит 0,5 мин., 1 мин., 6 мин.
Решение:
Имеем многоканальную СМО с υ=20 каналами и неограниченной длиной очереди.
Вероятность того, что задаче придется ожидать в очереди определяется по формуле:
π=ρυυ-1!(υ-ρ)∙p0
Здесь p0 – вероятность простоя системы (в системе нет задач) определяется по формуле:
p0=n=0υ-1ρnn!+ρυυ!∙11-ρn-1
Среднее время ожидания определяется по формуле Литтла:
Tоч=Lочλ,
где Lоч – длина очереди:
Lоч=ρυ+1(υ-1)!1-ρυ2∙p0 ;
По условиям задачи интенсивность поступления задач составляет λ1=2∙600=1200, λ2=1∙600=600, λ3=0.25∙600=150. Среднее время обслуживания составляет tобс=12 мин=1260 часа=0.2 часа. Тогда интенсивность экспоненциального потока обслуживания, так как сервера функционируют в режиме разделения времени, составит μ=ntобс=200.2=100.
Откуда интенсивности нагрузки составят: ρ1=λ1μ=1200100=12, ρ2=λ2μ=600100=6, ρ3=λ3μ=150100=1.5.
Подставляя в формулу для λ1 получаем:
p0=1+121!+1222!+…+121919!+122020!∙11-1220-1=6.1263∙10-6
π=122020-1!(20-12)∙6.1263∙10-6=0.0241
Lоч=1220+1(20-1)!1-12202∙6.1263∙10-6=0.0362
Tоч=0.03621200=3.0168∙10-5.
Таким образом, при условии, что с каждой рабочей станции 2 раза в час случайным образом на серверы приходит задача, вероятность ожидания составит 2.41%, при этом время ожидания также приближается к нулю.
Найдем вероятность того, что время ожидания превысит T’ час используя вероятность экспоненциального распределения:
Pt>T’=PT'<t<∞=e-T’1Mt-e-∞=e-T’∙Tоч-0=e-T’∙Tоч
Получаем вероятность того, что время ожидания превысит T’=0.5 мин=0.0083 часа:
Pt>0.0083=e-0.0083∙3.0168∙10-5≈0.99999997
Таким образом, вероятность того, что время ожидания превысит 0.5 мин составит почти 100%.
Вычислим те же значения для λ2:
p0=1+61!+622!+…+61919!+62020!∙11-620-1≈0.0025
π=62020-1!(20-6)∙0.0025=5.3215∙10-6
Lоч=620+1(20-1)!1-6202∙0.0025=2.2806∙10-6
Tоч=2.2806∙10-6600=3.8011∙10-9.
Таким образом, при условии, что с каждой рабочей станции 1 раза в час случайным образом на серверы приходит задача, вероятность ожидания и время ожидания приблизится к нулю.
Найдем вероятность того, что время ожидания превысит T’=1 мин=0.0167 часа:
Pt>0.0167=e-0.0167∙3.8011∙10-9≈1
Таким образом, вероятность того, что время ожидания превысит 1 мин составит почти 100%.
Вычислим те же значения для λ3:
p0=1+1.51!+1.522!+…+1.51919!+1.52020!∙11-1.520-1≈0.2231
π=1.52020-1!(20-1.5)∙0.2231=3.297∙10-16
Lоч=1.520+1(20-1)!1-1.5202∙0.2231=2.6732∙10-17
Tоч=2.6732∙10-17150=1.7822∙10-19.
Таким образом, при условии, что с каждой рабочей станции 1 раза в 4 часа случайным образом на серверы приходит задача, вероятность ожидания и время ожидания приблизится к нулю.
Найдем вероятность того, что время ожидания превысит T’=6 мин=0.1 часа:
Pt>0.1=e-0.1∙3.8011∙10-9≈1
Таким образом, вероятность того, что время ожидания превысит 6 мин составит почти 100%.
