1.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
Задание 8.Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:
а) длину стороны АВ,
б) уравнения сторон АС, АВ и ВС и их угловые коэффициенты,
в) угол В,
г) уравнение высоты СД,
д) уравнение медианы АЕ,
е) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС. Сделать чертёж.
А(1;-2) В(7;1) С(3;7)
Решение:
а) Вычислим длину стороны АВ:
AB=xB-xA2+yB-yA2=7-12+1–22=
=36+9=45=35≈6,708;
Вычислим длину стороны АС:
AС=xС-xA2+yС-yA2=3-12+7–22=
=4+81=85≈9,22;
Вычислим длину стороны BС:
BС=xС-xB2+yС-yB2=3-72+7-12=
=16+36=52=213≈7,211;
б) Уравнение стороны AC :
x-xAxC-xA=y-yAyC-yA
x-13-1=y–27–2=> x-12=y+29=>9x-2y-13=0=>y=92x-132
kAC=92
Уравнение стороны AB :
x-xAxB-xA=y-yAyB-yA
x-17-1=y–21–2=>x-16=y+23=>x-2y-5=0=> y=x2-52
kAB=12
Уравнение стороны BC :
x-xBxC-xB=y-yByC-yB
x-73-7=y-17-1=>x-7-4=y-16=>3x+2y-23=0=>y=-32x+232,
kBc=-32
в)Внутренний угол треугольника найдем, зная угловые коэффициенты сторон ВС и BА, образующих этот угол, по формуле tgB=kBC-kBA1+kBCkBA.
tgB=-32-121+-32∙12=8.
B=arctg8=82,880.
г) Найдем уравнение высоты CD. Она перпендикулярна стороне AB с угловым коэффициентом kAB =12 , поэтому ее уравнение имеет вид:
y-yC=-1kABx-xC
y-7=-2x-3
y=-2x+13.
д)Медиана, проведенная из вершины А делит противолежащую сторону ВС треугольника пополам. Найдем координаты точки Е середины стороны BС:
xE=xB+xC2=7+32= 5yE=yB+yC2=1+82=4
Получаем E(5;4)
Подставим координаты точек в уравнение прямой, проходящей через две точки, найдем уравнение медианы AE
x-xAxE-xA=y-yAyE-yA,
x-15-1=y–24–2=>x-14=y+26=>3x-2y-7=0.
e)Для определения знаков неравенств в левую часть каждого уравнения подставим координаты противоположной вершины, которая гарантированно принадлежит соответствующей полуплоскости:Подставим точку С (3;7) в уравнение АВ:3-2∙7-5=-16<0.
Подставим В (7;1) в уравнение АС:9∙7-2∙1-13=48>0.
Подставим А (1;-2) в уравнение ВС:3∙1+2∙-2-23=-24=12<0.
Итак, система линейных уравнений, задающая треугольник АВС имеет вид:
x-2y-5≤0,3x+2y-23≥0,9x-2y-13≤0.
Построим чертеж к задаче в системе координат ХОY. Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу.
