1 Найти мощность множества гладких поверхностей в трехмерном пространстве

1.Найти мощность множества гладких поверхностей в трехмерном пространстве.
Решение. Есть теорема о том, что мощность множества непрерывных функций на прямой –континуум. Мы будем доказывать аналогично
Гладкой поверхностью в R3 называется вектор-функция от двух параметров xu,v,yu,v,z(u,v) , (u,v) принадлежит некоторой области D двумерной плоскости, или даже всей двумерной плоскости R2.
Возьмем множество M=Q2⋂D всех точек области D, у которых обе координаты рациональны. М, как и множество рациональных чисел- счетное множество на плоскости, его точки можно занумеровать w1=u1,v1,w2=u2,v2,…wn=un,vn,… Рассмотрим множество трехмерных вектор-функций не на всей области D, а только на счетном множестве M:
xu1,v1,yu1,v1,zu1,v1,xu2,v2,yu2,v2,zu2,v2,…x(un,vn,yun,vn,zun,vn,…
Это просто множество последовательностей действительных чисел, в данном случае естественно группирующихся по три.
Теорема(из учебников) Прямое произведение счетного числа континуумов (последовательностей элементов континуального множества) также имеет мощность континуума.
Значит, мощность множества всех вектор-функций на счетном множестве М –континуум.
Но у нас дано, что поверхность гладкая, а значит, все функции xu,v,yu,v,z(u,v) непрерывны. Тогда значения этих функций в точках множества М – полностью определяют поверхность. Например, пусть нам надо узнать xU,V,yU,V,z(U,V), где U,V могут быть иррациональны. Найдем последовательность рациональных приближений wk=(uk,vk)→(U,V)
По определению непрерывности, x(uk,vk)→x(U,V), y(uk,vk)→y(U,V) , z(uk,vk)→z(U,V) -узнали значение функции xU,V,yU,V,z(U,V),
Значит, мощность множества всех гладких поверхностей –не более континуума. Но она и не менее континуума, рассмотрим плоскости z=a, где a любое действительное число – это уже набор разных гладких поверхностей.

Решение:

мощность множества гладких поверхностей в трехмерном пространстве – континуум.
2.Найти мощность множества строго возрастающих периодических функций, действующих во множестве R.
Решение. Докажем, что данное множество пусто.
Функция f возрастающая, если для всякого x,и всякого t>0 f(x+t)>f(x)
Функция f периодическая, если существует T>0(период): для всякого x f(x+T)=f(x)
Эти свойства противоречат друг другу.
Мощность данного в задаче множества – это мощность пустого множества, то есть 0
3.Каких последовательностей натуральных чисел больше :сходящихся или расходящихся?
Опишем класс сходящихся последовательностей натуральных чисел. Если предел такой последовательности – a -не натуральное число, то расстояние от него до ближайшего натурального числа (либо большего, либо меньшего a ) равно некоторому ε>0 , и не выполняется определение предела –все натуральные числа nk из последовательности, начиная с некоторого k, должны попасть в интервал (a-ε, a+ε) , но в этом интервале натуральных чисел нет. Значит, предел последовательности равен некоторому M- целому. Из определения предела, начиная с некоторого номера k, N-12<nk< N+12 , но так как nk целые, то nk=N, начиная с некоторого места.
Докажем, что множество сходящихся последовательностей натуральных чисел счетно. Для этого надо доказать, что каждой такой последовательности можно присвоить номер, чтобы разные последовательности гарантированно получили бы разные номера. Можно просто считать, что числа последовательности написаны через запятую одно за другим, а в том месте, после которого все члены последовательности становятся равны N до самого конца, мы напишем это число N один раз, но поставим две подряд запятые. Значит, каждому числу сопоставлена конечная последовательность символов из алфавита длины 11: {0123456789,} а ее будем представлять как номер этой последовательности, но в одиннадцатеричной системе счисления, запятая –ее одиннадцатый знак. Тогда не могут быть две последовательности , получившие одинаковый номер, этот номер в одиннадцатеричной системе однозначно разбивается на отдельные члены.
Например: последовательность 22,12,12,12,…(12 повторяется бесконечно долго) –сходящаяся к пределу 12. Ее мы договорились кодировать как {22,12,,} она получит номер
10+10∙11+2∙112+1∙113+10∙114+2∙115+2∙116
И этот номер уникален. Итак, множество сходящихся последовательностей натуральных чисел счетно.
Множество всех последовательностей натуральных чисел –несчетно. Любому числу x из интервала (0,1) сопоставим его разложение в бесконечную десятичную дробь, например 0,5=0,7071… причем для разных чисел –разложения будут разные. Каждое из них можно интерпретировать как последовательность цифр 0,1,…9
Мощность интервала (0,1)- континуум, значит, мощность множества последовательностей цифр –не меньше, чем континуум. Разным последовательностям цифр – сопоставим разные последовательности натуральных чисел, просто когда цифра была равна 0 (не натуральное число), будем писать вместо нее число 10. Значит, всех последовательностей натуральных чисел –не меньше чем континуум.
Если бы мощность множества расходящихся последовательностей была счетной, то по доказанному – мощность всех последовательностей счетна, как мощность объединения двух счетных множеств, противоречие.
Значит, мощность множества расходящихся последовательностей больше мощности множества сходящихся последовательностей
4.Найти мощность множества целых чисел, множества рациональных чисел
Докажем, что мощность каждого из них – счетная.
Множество является счетным, если его элементы можно занумеровать в каком-то порядке, причем каждый элемент получит свой номер
Целые числа –это 0;-1;1;-2;2;…-n; n ;… Мы уже перечислили их в естественном порядке, теперь, чтобы доказать, что каждое целое число k получит какой-то номер, мы вычислим этот номер в явном виде. На 1-м месте в этой последовательности стоит число 0, на 3-м число 1, на 5-м –число 2… Видим закономерность – целое неотрицательное число k стоит на месте 2k+1 , то есть получит номер 2k+1. Число -1 стоит на 2-м месте, число -2 –на 4-м ….число k<0 – на месте с номером (-2k) , и таким образом, все четные места будут заняты отрицательными числами, а все нечетные –нулем и положительными. Так мы занумеровали множество целых чисел, значит, оно счетно.
Рациональные числа –это числа вида pq , где p и q-целые. Но так как p-q=-pq , мы можем считать, что q>0-натуральное. Изобразим эти числа в виде решетки на плоскости (q,p). Но числа, представляющие собой сократимую дробь, например дробь 2p2q — не будем изображать, и условимся, что если pq=0 , то p=0,q=1. Теперь можно обойти по ломаной все отмеченные числа. Пусть ломаная начинается в точке (q=1,p=0). Для нее q+p=1 это единственное рациональное число с таким q+p . Точек, у которых q+p=2 , на решетке имеются три (1;1),(2;0),(1;-1), пусть далее ломаная обходит их все, хотя число 02 , по нашему соглашению, не представляет никакого рационального числа, ломаная через эту точку проходит, просто эта точка не получает никакого номера. И так далее, до каждой точки (p,q) с некоторым q+p=m>0 , мы дойдем по ломаной, после того, как пройдем все точки с q+p<m

Читайте также:  Исследовали влияние депрессивного состояния на самооценку способности решения проблем

Таким образом, каждое рациональное число получит некоторый номер, причем только один.
Значит, множество рациональных чисел счетно.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...