1. Решить задачу линейного программирования графическим методом.
-3×1+2×2≤4,-x1+2×2≤8,×1+x2≥10,4×1-x2≤20,×1,x2≥0,zx1,x2=-x1-x2→max,Решение: Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств.
Границей неравенства -3×1+2×2≤4 является прямая -3×1+2×2=4, построим ее по двум точкам:
х1 0 -4/3
х2 2 0
Произвольная точка (0; 0) удовлетворяет неравенству-3×1+2×2≤4, поэтому областью решения неравенства являются точки, лежащие ниже прямой-3×1+2×2=4. Область решения обозначим штриховкой.
Границей неравенства -x1+2×2≤8 является прямая -x1+2×2=8, построим ее по двум точкам:
х1 0 -8
х2 4 0
Произвольная точка (0; 0) удовлетворяет неравенству-x1+2×2≤8, поэтому областью решения неравенства являются точки, лежащие ниже прямой-x1+2×2=8. Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями. Область решения обозначим штриховкой.
Границей неравенства x1+x2≥10 является прямая x1+x2=10, построим ее по двум точкам:
х1 0 10
х2 10 0
Произвольная точка (0; 0) не удовлетворяет неравенствуx1+x2≥10, поэтому областью решения неравенства являются точки, лежащие выше прямойx1+x2=10. Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями. Область решения обозначим штриховкой.
Границей неравенства 4×1-x2≤20 является прямая 4×1-x2=20, построим ее по двум точкам:
х1 0 5
х2 -20 0
Произвольная точка (0; 0) удовлетворяет неравенству4×1-x2≤20, поэтому областью решения неравенства являются точки, лежащие выше прямой4×1-x2=20. Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями. Область решения обозначим штриховкой.
Общая часть всех полуплоскостей область АВС является областью решений системы линейных неравенств.
Строим вектор-градиент целевой функции ZX=-x1-x2:∇Z=-1;-1.
(координаты вектора-градиента – частные производные функции ).
Проводим линию линейной функции перпендикулярно вектору-градиенту.
Для отыскания точки, соответствующей максимальному значению функции, сдвигаем линию уровня параллельно самой себе в направлении, указанном вектором ∇Z. Так как линия цели параллельна прямой x1+x2=10, то максимального значения функция достигает в двух точках: Z(A) и ZB,где В6,4, А(4,6)
Zmax=ZA=-1∙6-1*4=-10;
Zmax=ZB=-1∙4-1*6=-10;
Решение:
Zmax=Z6,4=Z(4,6)=-10;
2. Решить графическим методом задачи с n переменными
Z=2×1+5×2+x3+x4 max
5х1-2х2-3х3+х4=13х2+2х3+х4=6
xj≥0, j=1,2,3,4
Решение.
Выразим х3 и х4 через х1 и х2:
Получим ЗЛП на плоскости Х1Х2О
5-2-31103216=5-2-3115-5-50-5=210141-1-10-1
Х4=4-2х1-х2, х3=1+х1-х2, тогда
Z=5+x1+3×2 max
2х1+х2≤4×1-x2≥-1, х1,х2≥0
Решим полученную задачу графически
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости,
