12.8. Три баскетболиста должны произвести по одному броску мяча. Вероятности попадания мяча в корзину первым, вторым, третьим баскетболистами соответс-твенно равны 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что удачно произведёт бросок только один баскетболист.
Решение.
Обозначим событие Аi – «i-ый баскетболист попадет мячом в корзину» (i = 1, 2, 3). Противоположное событие – «бросок i-го баскетболиста неудачный».
Вероятности этих событий:
Р(А1) = р1 = 0,9; Р(А2) = р2 = 0,8; Р(А3) = р3 = 0,7;
1– р1 = 1 – 0,9 = 0,1; 1 – 0,8 = 0,2; 1 – 0,7 = 0,3.
Событие В – «удачно произведёт бросок только один баскетболист» – это появление од-ного из трех несовместных событий:
или – 1-ый баскетболист попадет мячом в корзину, остальные промахнутся;
или – 2-ой баскетболист попадет мячом в корзину, остальные промахнутся;
или – 3-ий баскетболист попадет мячом в корзину, остальные промахнутся.
Алгебраическое выражение события В:
Вероятность события В находим последовательным применением теоремы сложения вероятностей несовместных событий и теоремы умножения вероятностей независимых событий:
Решение:
0,09
13.8. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и Y:
Требуется:
– составить закон распределения случайной величины ;
– найти числовые характеристики случайных величин X, Y, Z;
– проверить свойство ;
– построить функцию распределения для Z и построить ее график.
Решение.
1) Для составления закона распределения случайной величины находим все возможные значения Z и их вероятности, учитывая, что каждое возможное значение Х может сочетаться с каждым из возможных значений Y:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Закон распределения случайной величины Z:
7 8 9 21 24 27 35 40 45
0,12 0,09 0,09 0,20 0,15 015 0,08 0,06 0,06
Контроль: 0,12 + 0,09 + 0,09 + 0,20 + 0,15 + 0,15 + 0,08 + 0,06 + 0,06 = 1
2) Числовые характеристики случайных величин X, Y, Z.
Математическое ожидание случайной величины Х равно сумме произведений ее значе-ний на их вероятности:
1∙0,3 + 3∙0,5 + 5∙ 0,2 = 2,8.
Дисперсию D(X) вычислим по формуле:
Математическое ожидание квадрата случайной величины Х:
12∙0,3 + 32∙0,5 + 52∙ 0,2 = 9,8
Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х:
Аналогично находим числовые характеристики случайных величин Y и Z.
7∙0,4 + 8∙0,3 + 9∙ 0,3 = 7,9.
72∙0,4 + 82∙0,3 + 92∙ 0,3 = 63,1
7∙0,12 + 8∙0,09 + 9∙0,09 + 21∙0,20 + 24∙0,15 + 27∙0,15 + 35∙0,08 +
+ 40∙0,06 + 45∙0,06 = 22,12
72∙0,12 + 82∙0,09 + 92∙0,09 + 212∙0,20 + 242∙0,15 + 272∙0,15 + 352∙0,08 +
+ 402∙0,06 + 452∙0,06 = 618,38
3) Свойство математического ожидания: математическое ожидание произведения вза-имно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
В данном случае: = 2,8; = 7,9; = 22,12.
Следовательно:
4) Функция распределения F(z) определяет для каждого значения z вероятность того,
что случайная величина Z примет значение, меньшее z, т.е.
Составляем функцию распределения F(z):
при имеем F(z) = 0;
при имеем ;
при имеем ;
при имеем ;
при имеем ;
при имеем ;
при имеем ;
при имеем ;
при имеем ;
при имеем
Таким образом, функция распределения F(x) имеет вид:
Строим график функции распределения F(z):
