4.15.
Дана выборка: 6 5 9 6 5 6 9 3 8 6 8 5 5 3 5 5.
Построить дискретный вариационный ряд.
Построить интервальный ряд (k=3 интервала).
Построить полигон и кумуляту частот дискретного ряда.
Построить полигон, кумуляту и гистограмму частот интервального ряда.
Найти выборочную среднюю, моду и медиану дискретного ряда.
Найти выборочную среднюю, моду и медиану интервального ряда.
Найти выборочную дисперсию, стандартное отклонение, асимметрию и эксцесс дискретного ряда.
Решение:
Упорядочим данные и подсчитаем число наблюдений:
3 2
3
5 6
5
5
5
5
5
6 4
6
6
6
8 2
8
9 2
9
Строим дискретный вариационный ряд.
хi 3 5 6 8 9
ni
2 6 4 2 2
wi
0,125 0,375 0,25 0,125 0,125
n = 2 + 6 + 4 + 2 + 2 = 16 (число наблюдений)
wi = ni /n (относительные частоты)
Анализируем вариационный ряд.
min =3
max = 9
R = max – min = 9 – 3 = 6 (размах выборки)
k = 3число интервалов
h = R/k = 6/3 = 2 (длина интервалов)
Строим интервальный ряд распределения частот.
№ 1 2 3
(ai;bi] [3 – 5] (5 – 7] (7 – 9]
X’i 4 6 8
n’i 8 4 4
X’i = (ai+ bi)/2 (середина интервала)
Строим полигон частот дискретного ряда.
Чтобы построить кумуляту частот дискретного ряда, проводим вычисление накопленных частот:
S1 = n1 = 2
S2 = S1 + n2 = 2 + 6 = 8
S3 = S2 + n3 = 8 + 4 = 12
S4 = S3 + n4 = 12 + 2 = 14
S5 = S4 + n5 = 14 + 2 = 16
Строим полигон частот интервального ряда.
Чтобы построить кумуляту частот интервального ряда, проводим вычисление накопленных частот:
S’1 = n’1 = 8
S’2 = S’1 + n’2 = 8 + 4 = 12
S’3 = S’2 + n’3 = 12 + 4 = 16
Строим гистограмму частот интервального ряда.
Найдём выборочную среднюю, моду и медиану дискретного ряда.
Х* = (3·2 + 5·6 + 6·4 + 8·2 + 9·2) / 16 = 94/16 = 5,875
Мо = 5 (наиболее частое значение)
Ме = (5+6)/2 = 5,5 (середина вариационного ряда)
Найдём выборочную среднюю, моду и медиану интервального ряда.
Х’* = (4·8 + 6·4 + 8·4) / 16 = 88/16 = 5,5
Формула вычисления моды интервального ряда:
где:
— значение моды
— нижняя граница модального интервала
— величина интервала
— частота модального интервала
— частота интервала, предшествующего модальному
— частота интервала, следующего за модальным
Модальным является 1-й интервал, т.к. наибольшая частота.
Формула вычисления медианы интервального ряда:
где:
— искомая медиана
— нижняя граница интервала, который содержит медиану
— величина интервала
— сумма частот или число членов ряда
– сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному
— частота медианного интервала
Медианным является 2-й интервал, т.к. накопленная частота > 16/2.
Найдём выборочную дисперсию, стандартное отклонение, асимметрию и эксцесс дискретного ряда.
Для этого проводим в таблице вычисления центральных моментов 2-го, 3-го и 4-го порядка по формулам:
хi
ni pi
(xi-X*)2pi (xi-X*)3pi (xi-X*)4pi
3 2 0,125 1,033203125 -2,970458984 8,54006958
5 6 0,375 0,287109375 -0,251220703 0,219818115
6 4 0,25 0,00390625 0,000488281 6,10352E-05
8 2 0,125 0,564453125 1,199462891 2,548858643
9 2 0,125 1,220703125 3,814697266 11,92092896
Σ 16 1 3,109375 1,79296875 23,22973633
pi = wi
μ2 = (3 – 5,825)2·0,125 + (5 – 5,825)2·0,375 + (6 – 5,825)2·0,25 + (8 – 5,825)2·0,125 + + (9 – 5,825)2·0,125 ≈ 3,109
μ3 = (3 – 5,825)3·0,125 + (5 – 5,825)3·0,375 + (6 – 5,825)3·0,25 + (8 – 5,825)3·0,125 + + (9 – 5,825)3·0,125 ≈ 1,193
μ4 = (3 – 5,825)4·0,125 + (5 – 5,825)4·0,375 + (6 – 5,825)4·0,25 + (8 – 5,825)4·0,125 + + (9 – 5,825)4·0,125 ≈ 23,23
Дисперсия:
D = μ2
D = 3,109
Стандартное отклонение:
σ = √D
σ = √3,109 = 1,763
Асимметрия вычисляется по формуле:
Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.
Положительная величина коэффициента асимметрии указывает на наличие правосторонней асимметрии.
Эксцесс вычисляется по формуле:
Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. Островершинные кривые обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные – отрицательным эксцессом.
В данном случае отрицательная величина коэффициента эксцесса – плосковершинное распределение.
