676. Привести уравнение к каноническому виду; определить тип уравнения; установить какие геометрические образы оно определяет; изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:
3) .
Решение:
будет иметь канонический вид:
а) Найдем собственные числа матрицы В:
, ,
, .
б) Ищем собственные подпространства:
Матрица В, соответствующая собственному числу :
Пусть
– образует собственное подпространство.
– базис СПП
в)
Пусть
– образует собственное подпространство.
– базис СПП
2) Объединяем базисы собственных подпространств. Нормируем , и составляем матрицу .
Возьмем матрицу как матрицу перехода к новому базису.
Пусть , т.е.
В базисе f матрица имеет вид:
.
Проверка:
Перепишем уравнение кривой в матричном виде:
.
Вернемся к обычной записи:
Введем новые переменные:
,
– уравнение гиперболы в системе координат .
Найдем точки пересечения кривой с осями OX, OY.
:
,
и
Точки ,
:
Точки
, .
Координатные оси XOY поворачиваем на против часовой стрелки. В новой системе координат сдвигаем центр по оси на , по оси на в отрицательных направлениях.
,
В системе координат найдем точки для построения осей координат: (0; 0), (0; 1), (1; 0). Ось проходит через пару точек (0; 0), (0; 1), ось вторая – через пару (0; 0), (1; 0).
Подставляем координаты данных точек в последнюю систему. Получим координаты точек в системе координат XOY:
(0; 0)(3; –4)
(0; 1)(2,106; –3,553)
(1; 0)(3,447; –3,106)
Получим график гиперболы:
Гиперболическое уравнение, определяет гиперболу, уравнение которой приводится к виду путем двух последовательных преобразований координат:
, и , .
