Билет 10
1. Найти общее решение дифференциального уравнения
xy”=y’.
Решение.
xy”=y’.
Дифференциальное уравнение второго порядка не содержит y, тогда выполним подстановку y’=vx, y”=v’x:
xv’=v.
Имеем дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
xdv=vdx,
1vdv=1xdx,
1vdv=1xdx,
lnv=lnx+lnC1,
v=xC1.
Сделаем обратную замену:
y’=xC1.
Имеем дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
dy=xC1dx,
dy=xC1dx,
y=C12x2+C2.
Решение:
y=C12x2+C2.
2. Решить задачу Коши
y”+y=x3-4×2+7x-10, y0=2,y’0=3.
Решение.
y”+y=x3-4×2+7x-10, y0=2,y’0=3.
Составляем характеристическое уравнение и находим его корни. Имеем:
λ2+1=0,
λ1,2=±i.
Поэтому общее решение уравнения имеет вид (учитывая, что полученные корни являются комплексно-сопряженными):
y0=C1cosx+C2sinx.
Частное решение:
y=Ax3+Bx2+Cx+D,
y’=3Ax2+2Bx+C,
y”=6Ax+2B.
Подставляя полученные выражения в уравнение: y”+y=x3-4×2+7x-10, получим:
6Ax+2B+Ax3+Bx2+Cx+D=x3-4×2+7x-10.
Коэффициенты при:
x3_A=1,
x2_B=-4,
x1:6A+C=7,
x0:2B+D=-10.
A=1,B=-4,C=1,D=-2.
Частное решение, таким образом, имеет вид:
y=x3-4×2+x-2.
Общее решение:
y=y0+y,
y=C1cosx+C2sinx+x3-4×2+x-2.
