Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка
y’=f(t,y)yt0=y0
на отрезке [t0,T] с шагом h=0.2: а) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге. Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенных решений.
ft,y=2ty-et2-t
t0=0
T=1
y0=2
Метод Эйлера заключается в последовательном применении следующих формул:
tk+1=tk+h,
yk+1=yk+h f(tk,yk).
t y
0 2
0,2 1,8
0,4 1,773571
0,6 1,900017
0,8 2,198696
1 2,731849
Метод Рунге-Кутты второго порядка заключается в последовательном применении следующих формул:
k1=hf(ti,yi)
k2=hf(ti+h,yi+k1)
yi+1=yi+(k1+k2)/2.

Оценка погрешности по правилу Рунге:
σ=yih-y2ih/22p-1,
Для метода Рунге-Кутты второго порядка p=2, то есть
σ=yih-y2ih/23,
t k1 k2 y
0

2
0,2 -0,2 -0,02643 1,886786
0,4 -0,01949 0,141442 1,947764
0,6 0,154317 0,347174 2,198509
0,8 0,370317 0,651595 2,709465
1 0,6966 1,162426 3,638978
Аналогично выполним вычисления с шагом h=0,4:
t k1 k2 y
0

2
0,4 -0,4 0,197349 1,898674
0,8 0,292925 1,061766 2,57602
Оценка погрешности по правилу Рунге:
σ0,4=y2h-y12h=0,049089
σ0,8=y4h-y22h=0,133445
σ=maxiyih-yih23=0,044482
Точное решение дифференциального уравнения:
y’=2ty-et2-t
e-t2dydt-2tye-t2=-e-t
e-t2dydt-ddte-t2y=-e-t
По формуле
gdfdx+fdgdx=ddx(fg)
ddte-t2y=-e-t
ddte-t2ydt=-e-tdt
e-t2y=e-t+C
y=et2e-t+C
Из начального условия y(0)=2:
y=et2-tet+1
Составим таблицу значений функции:
t yt
0 2
0,1 1,923981
0,2 1,892955
0,3 1,904759
0,4 1,960139
0,5 2,062826
0,6 2,219957
0,7 2,4429
0,8 2,748625
0,9 3,161839
1 3,718282

Читайте также:  Найдем оригинал для функции Х(р)

Построим на одном чертеже графики точного и приближенных решений:

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...