Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка На отрезке с шагом

Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

На отрезке с шагом : а) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге. Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенных решений.

Решение:

Найдем точное решение задачи:

Будем искать решение уравнения в виде

Найдем из условия .

Следовательно, уравнение для нахождения функции :
.
Общее решение исходного уравнения:
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Частное решение:
а) Явный метод Эйлера
Расчетная формула

Далее в таблице: первый столбец – узлы сетки с шагом 0,2; второй – точное решение; третий и четвертый – решения соответственно с шагами и; пятый – погрешность по Рунге.
Чтобы оценить погрешность по Рунге, вычислим приближенное решение с шагом .
Погрешность по Рунге может быть вычислена только в узлах сетки с шагом 0,4.

0 -1 -1 -1 0
0,2 -0,99465 -0,984 – –
0,4 -0,95641 -0,91898 -1 0,02
0,6 -0,84512 -0,76331 – –
0,8 -0,59318 -0,44672 -0,872 0,11
1 -0,05227 0,17460 – –
Т.о., в данном случае шаг 0,2 гарантирует 0 значащих цифр.
б) метод Рунге-Кутты 2-го порядка (метод Эйлера-Коши).
Первый этап – прогноз значения искомой функции в точке при помощи метода Эйлера:
.
Второй этап – коррекция полученного значения при помощи формулы на основе элементарной формулы трапеций:

Читайте также:  VI б) Имеем линейное дифференциальное уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами

Для данной задачи:
Далее в таблице.
Чтобы оценить погрешность по Рунге, вычислим приближенное решение с шагом .

0 -1 -1,00000 -1,00000 0
0,2 -0,99465 -0,99200

0,4 -0,95641 -0,95116 -0,93600 0,00505
0,6 -0,84512 -0,83725

0,8 -0,59318 -0,58327 -0,56065 0,00754
1 -0,05227 -0,04605

Т.о., в данном случае шаг 0,2 гарантирует 1 значащую цифру.

Построим на одном чертеже графики точного и приближенныхрешений.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...