ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. Вариант 1.
Дифференцирование.
Вычислить первую и вторую производную от таблично заданной функции в точке x=1
i 0 1 2 3 4
xi
-1,0 0,0 1,0 2,0 3,0
yi
-0,5 0,0 0,5 0,86603 1,0
Решение.
Шаг заданной функции постоянный h=1, точка x=1 находится внутри сетки. Вычислим конечные разности различных порядков по формулам:
Тогда, используя формулы
и получим первую и вторую производные
.
Интегрирование.
Вычислить определенный интеграл , методами прямоугольников, трапеций, Симпсона с шагами . Оценить погрешность вычислений, используя Метод Рунге-Ромберга:
Решение.
Для вычисления значения интеграла воспользуемся формулой прямоугольников
.
Вычислим значение функции .
Вычисление аргумента представлено на схеме:
Функции:
Представим результаты в виде таблицы:
i 1,00 2,00 3,00 4,00
-0,25 0,25 0,75 1,25
-0,214 -0,056 0,045 0,115
Подставляем полученные значения в формулу прямоугольников:
Метод Рунге-Ромберга-Ричардсона позволяет получать более высокий порядок
точности вычисления. Пусть I – точное значение интеграла, – значение интеграла, вычисленного приближенно с шагом h, – значение того же интеграла, вычисленное для шага h/2. Можем записать:
где с – константа. Вычитая из первого уравнения второе, получаем соотношение, которое с точностью порядка позволяет вычислить значение главной части погрешности:
. Данная формула позволяет рассчитать абсолютную погрешность вычислений определенного интеграла с точностью до , т.е. можем записать:
Пользуясь предыдущими вычислениями, получим . Для формулы прямоугольников k=2. Подставляя значения, получим:
Выполним решение с шагом
Вычисление представлено на схеме:
Представим результаты в виде таблицы:
i 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
-0,625 -0,375 -0,125 0,125 0,375 0,625 0,875 1,125
-0,269 -0,167 -0,088 -0,026 0,024 0,065 0,100 0,130
Подставляем полученные значения в формулу прямоугольников:
Рассчитаем абсолютную погрешность. тогда
Итерационные методы СЛАУ.
Решить СЛАУ с точностью 0.01, используя метод простых итераций и метод Зейделя. Проанализировать количество итераций, необходимое для достижения заданной точности.
Решение.
Прежде всего, убеждаемся, что методы простых итераций и метод Зецделя можно использовать для заданной системы, т.к. выполняется условие «преобладания диагональных коэффициентов» матрицы системы, что обеспечивает сходимость метода, т.е. .
Приведем систему к нормальному виду:
Или в матричной форме
где
Возьмем в качестве начального приближения вектор
Решение ищем по формуле:
Расчетная схема метода простых итераций:
Тогда с учетом условия e=0, 01, получим решение системы:
Для выполнения условия потребовалось 10 итераций.
Для решения по методу Зейделя используем формулы:
Расчетная схема метода Зейделя:
Тогда с учетом условия e=0, 01, получим решение системы:
Для выполнения условия потребовалось 9 итераций.
Метод Гаусса.
Решить СЛАУ методом Гаусса.
Решение.
Перепишем систему в виде расширенной матрицы:
x1 x2 x3 x4 b
1 2 -2 6 24
-3 -5 14 13 41
1 2 -2 -2 0
-2 -4 5 10 20
Преобразуем 2, 3 и 4 строки, исключая переменную x1:
1 2 -2 6 24,00000
0 1 8 31 113
0 0 0 -8 -24
0 0 1 22 68
Поменяем 3 и 4 строки между собой и разделим элементы 4 строки на -8:
1 2 -2 6 24
0 1 8 31 113
0 0 1 22 68
0 0 0 1 3
Выполним обратный ход.
1 0 0 0 2
0 1 0 0 4
0 0 1 0 2
0 0 0 1 3
Решение:
Метод наименьших квадратов.
Для таблично заданной функции путем решения нормальной системы МНК найти приближающие многочлены a) 1-ой и б) 2-ой степени. Для каждого из приближающих многочленов вычислить сумму квадратов ошибок. Построить графики приближаемой функции и приближающих многочленов.
i 0 1 2 3 4 5
-1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
-0,5 0,0 0,5 0,86603 1,0 0,86603
Решение.
Нормальная система метода наименьших квадратов:
где m – степень многочлена.
Приблизим функцию многочленом 1-ой степени. Для этого вычислим коэффициенты нормальной системы уравнений:
Составим нормальную систему наименьших квадратов, которая имеет вид:
Таким образом, многочлен 1-ой степени найден:
Приблизим функцию многочленом 2-ой степени. Для этого вычислим дополнительно коэффициенты нормальной системы уравнений:
Составим нормальную систему наименьших квадратов, которая имеет вид:
Таким образом, многочлен 2-ой степени найден:
Метод прогонки.
Решить СЛАУ методом прогонки.
Решение.
Данная система удовлетворяет условию преобладания диагональных элементов. Запишем расширенную матрицу коэффициентов:
Общий вид:
0 … 0
… 0
0 … 0
… … … … … …
0 0 0 …
-11 -9 0 0 0 -122
5 -15 -2 0 0 -48
0 -8 11 -3 0 -14
0 0 6 -15 4 -50
0 0 0 3 6 42
Вычислим прогоночные коэффициенты:
Для наглядности представления информации исходные данные и результаты расчетов поместим в таблицу:
i Pi
Qi
1 0 11 -9 -122 -0,81818 11,09091
2 5 15 -2 -48 -0,10476 5,41905
3 -8 -11 -3 -14 0,25342 2,47949
4 6 15 4 -50 0,29675 4,81301
5 3 -6 0 42 0,00000 4,00000
Обратный ход:
Pi
Qi
xi
-0,81818 11,09091 7,00000
-0,10476 5,41905 5,00000
0,25342 2,47949 4,00000
0,29675 4,81301 6,00000
0,00000 4,00000 4,00000
Метод вращений.
Используя метод вращений, найти собственные значения и собственные векторы симметрических матриц с точностью 0.05
Решение.
Положим k=0,
Угол поворота матрицы будем находить по формуле
Максимальный по модулю в верхней наддиагональной части . Тогда
ij
23 -4,5
Тогда найдем значения синуса и косинуса :
sin
cos
-0,97619 0,21693
И составим матрицу вращения:
Выполним первую итерацию:
Положим k=1 и выделим максимальный по модулю элемент в наддиагональнои части
Составим матрицу вращения:
Выполним вторую итерацию:
Произведя несколько итераций, получим:
Собственные значения
Собственные векторы
Нелинейные уравнения.
Найти один из корней уравнения, используя метод простой итерации и метод Ньютона, с точностью 0.001. Начальное приближение и границы отрезка определить графически.
Решение.
Выберем начальным приближением к корню x=1.5. Он находится в промежутке [1.5;2].
Найдем производную функции:
. Приведем исходное уравнение к виду:
, где Тогда расчетная формула имеет вид . Процесс итераций прекращается при
Схема метода простой итерации представлена на схеме:
Т.о. потребовалось 4 итерации, корень уравнения .
Для нахождения корня методом Ньютона воспользуемся формулой:
. Представим расчеты в виде таблицы:
Т.о. для уточнения корня методом Ньютона потребовалось 3 итерации. .
Полиномы Лагранжа и Ньютона.
Используя таблицу значений функции , вычисленных в точках построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, проходящие через точки . Вычислить значение погрешности интерполяции в точке X*. Построить графики.
Решение.
Вычислим значения y и представим в виде таблицы:
i 0 1 2 3
x
y 0,309017 0,587785 0,809017 0,951057
Запишем формулу для интерполяционного многочлена в форме Лагранжа.
Подставим табличные значения:
Вычислим значение многочлена в точке :
Для составления многочлена Ньютона, составим таблицу разделенных разностей.
Запишем формулу для интерполяционного многочлена Ньютона и подставим туда полученные значения:
В точке :
