Дан интеграл вида ab(c0+c1x+c2x2+c3x3+c4x4)dx. Используя априорную оценку погрешности формулы центральных прямоугольников, определить шаг интегрирования, достаточный для достижения точности ε=0,01, и вычислить интеграл с этим шагом. Вычислив точное значение интеграла, подтвердить достижение указанной точности.
0,81,3(-1-x-x2+3×3-3×4)dx
Решение:
Определим шаг интегрирования:
h<hпр*=24εM2(b-a)
f x=-1-x-x2+3×3-3×4
f’x=-1-2x+9×2-12×3
f”x=-2+18x-36×2
Максимальное значение функции достигается в точке экстремума или на концах отрезка:
f”’x=18-72x=0
x=0,25 – точка экстремума, но эта точка не принадлежит отрезку интегрирования.
M2=max[a,b]|f”(x)|=max[0,8;1,3]-2+18x-36×2=39,44
hпр*=24*0,0139,44*(1,3-0,8)=0,110
n=b-ahпр*+1=0,50,11+1=5
h=b-an=0,55=0,1
Вычислим интеграл:
Iпрh=hi=1nfi-1/2
0,85 0,95 1,05 1,15 1,25
-2,29614 -2,72389 -3,32614 -4,15689 -5,27734
Iпрh=0,1*-2,29614-2,72389-3,32614-4,15689-5,27734=-1,77804
Вычислим точное значение интеграла:
0,81,3(-1-x-x2+3×3-3×4)dx=-x-x22-x33+3×44-3×550,81,3=-1,78294
Указанная точность достигнута.
