Дана функция z = F (x; y) и две точки A (x0; y0) и B (x1;y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке B; 2) вычислить приближенное значение z1функции в точке B, исходя из значения z0 функции в точке A и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = F (x; y) в точке C(x0; y0; z0).
Дано:
z = x2+xy+y2; A(1;2); B(1,02;1,96).
Решение:
Имеем:
x0=1; y0=2;
x=x0+∆x=1,02; ∆x=0,02;
y=y0+∆y=1,96; ∆y=-0,04.
1) Вычислим значение z1 в точке B:
z1=1,022+1,02∙1,96+1,962=1,0404+1,9992+3,8416=6,8812.
z1=6,8812.
2) Вычислим приближенное значение z1функции в точке B
z1B=F x0; y0+dzx0; y0; (1)
Здесь
z0=F x0; y0=FA=12+1∙2+22=7.
dzx0; y0=Fx’x0;y0∆x+Fy’x0;y0∆y
Вычислим частные производные в т. A:
Fx’=2x+y;
Fx’x0;y0=2∙1+2=4;
Fy’=x+2y;
Fy’x0;y0=1+2∙2=5;
Подставим в (1) вместе с приращениями ∆x и ∆y, и значением функции в т. A, для приближенного значения z1 получим:
z1B=F x0; y0+dzx0; y0=7+4∙0,02+5∙-0,04=6,88.
3) Оценим в процентах относительную погрешность, вычисляя по формуле
δ=z1-z1z1∙100%=6,88-6,88126,88∙100%≈0,017%.
δ≈0,017%.
4) Составим уравнение касательной плоскости к поверхности
z = x2+xy+y2
в точке C(1;2; 7).
Уравнение заданной поверхности перепишем в виде
fx;y;z= x2+xy+y2-z=0.
Вычислим частные производные в т. C1;2; 7:
fx’x;y;z=2x+y;
fx’1;2; 7=4.
fy’x;y;z=x+2y;
fy’1;2; 7=5.
fz’x;y;z=-1;
fz’1;2; 7=-1.
Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности
z = x2+xy+y2
в точке C(1;2; 7) имеет вид:
fx’Cx-x0+fy’Cy-y0+fz’Cz-z0=0
4x-1+5y-2-z-7=0;
4x+5y-z-7=0.
