Дана система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка: Найти общее решение системы методом повышения порядка.
Решение задачи 6. Для решения системы методом повышения порядка исключим из нее одну из функций – z(x).
Выразим z(x) из первого уравнения системы: , продифференцируем ее: и подставим z и во второе уравнение системы:
.
Это дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно функции у(х).
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид . Найдем его в 2 этапа.
1 этап. Построим общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим для него характеристическое уравнение и найдем корни: . Вид общего решения однородного уравнения:
.
2 этап. Построим частное решение неоднородного уравнения. Здесь – правая часть 1-го специального вида: , где , n = 2. Число совпадает с корнем характеристического уравнения , тогда частное решение будем искать в виде:
,
где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
Найдем производные и подставим в неоднородное уравнение , при этом для простоты используем следующую форму записи:
(здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми входят в уравнение). Приравниваем левую и правую части уравнения после подстановки в него :
.
Приравнивая коэффициенты при х2 , при х1 , при х0 в обеих частях тождества, получаем:
откуда находим: A = 1, B = 1, С=-1. Подставляя найденные значения в , получим: .
Объединяя результаты 2-х этапов, получаем общее решение уравнения :
.
Найдем вторую неизвестную функцию:
Решение:
СПИСОК литературЫ
1. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова.– М. : Высш. шк., 1999.– 304 с.
2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова.– М. : Высш. шк., 1999.– 416 с.
3. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д. Т. Письменный. –М. : Айрис-пресс, 2003. – 288 с.
4. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 / Д. Т. Письменный. –М. : Рольф, 2002. – 256 с.
5. Щипачев, В. С. Высшая математика: учебник для вузов / В. С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 1998.– 479 с.
6. Щипачев, В. С. Задачник по высшей математике / В. С. Щипачев.– М. : Высш. шк., 2001.– 304 с.
