Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) Матричным методом; 2) По формулам Крамера; 3) Методом Гаусса.
2×1+x2+3×3=72×1+3×2+x3=13×1+2×2+x3=6
Решение
Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы этой системы (теорема Кронекера-Капелли). Матрица А системы состоит из коэффициентов при неизвестных
A=213231321Если к матрице системы добавить столбец из свободных членов, то получим расширенную матрицу системы
B=213231321716Под рангом понимается наибольший порядок минора, отличного от нуля. Для матрицы А минором наивысшего порядка, равного трем, является ее определитель:
detA=213231321=2∙3121-1∙2131+3∙2332=
=23-2-2-3+3∙4-9=2+1-15=-12≠0Следовательно, rA=3В расширенной матрице В нет минора больше 3, detAявляется одним из ее миноров третьего порядка, поэтому rB=3. . Система совместна, т.к. , rA=rB=3.
1)найдем решение с помощью обратной матрицы
Запишем данную систему в матричной форме:
AX=B,
где A=213231321-матрица системы,
X=x1x2x2-столбец неизвестеых,B=716- столбец правых частей
Тогда
X=A-1∙B.
Найдем обратную матрицу A-1к матрице A с помощью союзной матрицы:
A-1=1∆∙AT
Определитель матрицы
∆=213231321=-12.
Вычислим алгебраические дополнения Aij элементов матрицы A.
A11=3121=1; A12=-2131=1; A13=2332=-5;
A21=-1321=5; A22=2331=-7; A23=-2132=1;
A31=1331=-8; A32=-2321=4; A33=2123=4.
Составляем союзную матрицу:
A=11-55-7-1-844
Транспонированная союзная матрица:
AT=15-81-74-5-14
Тогда обратная матрица имеет вид
A-1=ATdetA=-11215-81-74-5-14=-112-51223-112712-13512112-139
Найдем решение
X=A-1∙B=-112-51223-112712-13512112-139∙716=
=–112∙7+-512∙1+23∙6112∙7+712∙1+-13∙6512∙7+112∙1+-13∙6=-712-512+4-712+712-23512+112-2
=-321=>x1=3,×2=-2,×3=1
Итак, получаем ответ: 3;-2;1.
2)найдем
Решение:
Ищем вспомогательные определители:
∆1=713131621=7∙3121-1∙1161+3∙1362=
=73-2-1-6+3∙2-18=7+5-48=-36
;∆2=273211361=2∙1161-7∙2131+3∙2136=
=21-6-72-3+3∙12-3=-10+7+27=24;
∆3=217231326=2∙3126-1∙2136+7∙2332=
=218-2-12-3+7∙4-9=32-9-35=-12;
Тогда
x1=∆1∆=-36-12 = 3,×2=∆y∆=24-12=-2,×3=∆z∆=-12-12 = 1.
Решение, полученное по формулам Крамера, совпадает с тем, которое получено с помощью обратной матрицы, что подтверждает правильность этого решения.
3)Найдем решение методом Гаусса
Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее к треугольному виду:
213231321716l2-l1;l3-31l121302-200.5-3,57-6-4,5l3-14l2
21302-200-37-6-3
Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений
2×1+x2+3×3=7,2×2-2×3=-6,-3×3=-3.
Из последнего уравнения, находим значениеx3 :
-3×3=-3=>x3=1.
Из уравнения 2 системы найдем переменную x2:
2×2-2∙1=-6=>x2=-42=-2.
Из уравнения 1 системы найдем переменную x1:
2×1+x2+3×3=7=>2×1-2+3=7=>2×1=6=>x1=3.
Итак, получаем ответ: 3;-2;1.
Решение, полученное методом Гаусса, совпадает с тем, которое получено с помощью обратной матрицы, что подтверждает правильность этого решения.
Ответ:x1=-1,×2=2,×3= 0.
