Дана случайная функция xt=ut2+v1-t где u∈-1 1 и v∈[-1 2] – случайные величины

Дана случайная функция xt=ut2+v1-t, где u∈-1;1 и v∈[-1;2] – случайные величины. Случайный вектор u,v имеет математическое ожидание -0,5;1 и ковариационную матрицу 0,5-0,5-0,51. Построить область возможных траекторий случайного процесса. Вычислить и построить график математического ожидания случайного процесса. Вычислить корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса.

Решение:

Т.к. случайные величины u,v могут принимать как отрицательные, так и положительные значения, то область возможных траекторий случайного процесса ограничивают следующие кривые:
— параболы, направленные вверх, ограничены xt=t2-1-t;t2+21-t;
— параболы, направленные вниз: xt=-t2+21-t;-t2-1-t;
— а также прямые (т.к. u может принимать значение 0) xt=-1-t;21-t
Математическое ожидание случайного процесса:
mxt=Mut2+v1-t=t2Mu+1-tMv=-0,5t2+1-t
График математического ожидания на области возможных траекторий выделен жирным:

Находим центрированный случайный процесс:
xt=xt-mxt=ut2+v1-t—0,5t2+1-t=
=t2u-Mu+1-tv-Mv
Находим корреляционную функцию:
kxt1;t2=Mxt1xt2=
=Mt12u-Mu+1-t1v-Mvt22u-Mu+1-t2v-Mv
=t12t22Mu-Mu2+1-t11-t2Mv-Mv2+
+(t121-t2+t221-t1)Mu-Muv-Mv=
=t12t22Du+1-t11-t2Dv+(t121-t2+t221-t1)cov(u,v)
=0,5t12t22+1-t11-t2-0,5(t121-t2+t221-t1)
И дисперсия случайного процесса:
Dxt=kxt;t=0,5t2t2+1-t1-t-0,5(t21-t+t21-t)
=0,5t4+1-t2-t21-t=0,5t4+t3-2t+1

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...