Дано векторное поле Найти дивергенцию векторного поля исследовать расположение источников и стоков векторных линий поля

Дано векторное поле .
Найти дивергенцию векторного поля, исследовать расположение источников и стоков векторных линий поля.
Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность — поверхность, ограничивающую тело : , .
Найти ротор векторного поля.
Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль замкнутой линии двумя способами: а) преобразовав линейный интеграл в определенный с использованием уравнений линии ; б) преобразовав линейный интеграл в поверхностный с помощью теоремы Стокса. Здесь состоит из дуги окружности и ее диаметра : .
Выяснить, как изменится циркуляция векторного поля вдоль контура , если изменить расположение контура в данном поле. Найти наибольшее значение циркуляции для данного контура.

Решение:

Найдем дивергенцию векторного поля, исследуем расположение источников и стоков векторных линий поля.
Найдем дивергенцию данного поля:
.
На поверхности параболоида , расположенного вдоль оси OX в отрицательном направлении, источников и стоков нет. Внутри данного параболоида , следовательно, здесь есть только стоки. Снаружи данного параболоида , следовательно, здесь только источники.

Найдем поток векторного поля через замкнутую поверхность — поверхность, ограничивающую тело : , .
Сделаем чертеж проекции данного тела на плоскость XOY:

Читайте также:  Примерно один ребёнок из 1000 рождается с симптомом Дауна По данным из 200 родильных домов количество детей

Используем формулу Остроградского-Гаусса:

.

Найдем ротор векторного поля.
Найдем ротор данного поля:
,
,,,
,,,
,,,
.

Вычислим циркуляцию векторного поля вдоль замкнутой линии двумя способами: а) преобразовав линейный интеграл в определенный с использованием уравнений линии ; б) преобразовав линейный интеграл в поверхностный с помощью теоремы Стокса. Здесь состоит из дуги окружности и ее диаметра : .
Сделаем чертеж проекции данного контура на плоскость XOY:

Найдем циркуляцию данного поля непосредственно:

.
Найдем циркуляцию данного поля с помощью теоремы Стокса:

.

Выясним, как изменится циркуляция векторного поля вдоль контура , если изменить расположение контура в данном поле. Найдем наибольшее значение циркуляции для данного контура.
Из теоремы Стокса следует, что величина циркуляции поля вдоль контура определяется величиной скалярного произведения ротора поля и вектора нормали к плоскости контура. Скалярное же произведение определяется косинусом угла между ротором поля и вектором нормали. Следовательно, при уменьшении угла между ротором поля и вектором нормали циркуляция будет увеличиваться. Наибольшее значение циркуляция достигает в том случае, если угол между ротором поля и вектором нормали равен нулю. Тогда получаем:

Читайте также:  1 3 В магазин поступают магнитофоны с трех заводов Производительность первого в два раза меньше производительности второго

.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...