Даны координаты пирамиды A1(7 0 3) A2(3 0 -1) A3(3 0 5) A4(4

Даны координаты пирамиды: A1(7,0,3), A2(3,0,-1), A3(3,0,5), A4(4,3,-2). Средствами векторной алгебры найти:
1. Длину ребра А1А2;
2. Угол между ребрами А1А2 и А1А3;
3. Площадь грани А1А2А3;
4. Дину высоты пирамиды, проведенной из вершины А4;
5. Уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А4;
6. Объём пирамиды А1А2А3А4.

Решение:

1) Для начала найдём координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj — xi; Y = yj — yi; Z = zj — zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi — координаты точки Аi; xj, yj, zj — координаты точки Аj;
Например, для вектора A1A2
X = x2 — x1; Y = y2 — y1; Z = z2 — z1
X = 3-7; Y = 0-0; Z = -1-3
A1A2(-4;0;-4)
Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
EQ |a| = r(X2 + Y2 + Z2)
EQ |A1A2| = r(42 + 02 + 42) = r(32) = 5.657

2) Угол между ребрами.
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
EQ cos γ = f(a1a2;|a1|·|a2|)
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами A1A2(-4;0;-4) и A1A3(-4;0;2):
EQ cos γ = f((-4)·(-4) + 0·0 + (-4)·2;r(32)·r(20)) = 0.316
γ = arccos(0.316) = 71.5670

Читайте также:  Разложить в тригонометрический ряд Фурье периодическую функциюfx=0

3) Площадь грани.
Площадь грани можно найти по формуле:
EQ S = f(1;2)·|a|·|b| sin γ
где
EQ sin(γ)=r(1-cos(γ)2)
Найдем площадь грани A1A2A3
Найдем угол между ребрами A1A2(-4;0;-4) и A1A3(-4;0;2):
EQ cos γ = f((-4)·(-4) + 0·0 + (-4)·2;r(32)·r(20)) = 0.316
EQ sin γ = r(1 — 0.3162) = 0.949
Площадь грани A1A2A3
EQ SA1A2A3 = f(1;2)·|A1A2|·|A1A3|·sin(γ) = EQ f(1;2)·r(32)·r(20)·0.949 = 12
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
EQ S = f(1;2)·|xto(A1A2) × xto(A1A3)|
Векторное произведение:
EQ bbc| (a al co3 hs3 (i;j;k;-4;0;-4;-4;0;2)) =
=i(0·2-0·(-4)) — j((-4)·2-(-4)·(-4)) + k((-4)·0-(-4)·0) = 24j
EQ S = f(1;2)|xto(A1A2) × xto(A1A3)| = f(1;2)| 24j| = EQ f(1;2)r(02 + 242 + 02) = f(1;2)r(576) = 12

3) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A4(4,3,-2).
Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:
EQ d = f(|A x1 + B y1 + C z1 + D|;r(A2 + B2 + C2))
Уравнение плоскости A1A2A3: y = 0
EQ d = f(|0·4 + 1·3 + 0·(-2) — 0|;r(02 + 12 + 02)) = f(3;r(1)) = 3

4) Уравнение высоты пирамиды через вершину A4(4,3,-2).
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A1A2A3: y = 0
EQ f(x — x0;A) = f(y — y0;B) = f(z — z0;C)
EQ f(x — 4;0) = f(y — 3;1) = f(z — (-2);0)

Читайте также:  Даны координаты вершин пирамиды Методами векторной алгебры найти

5) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
EQ V = EQ f(1;6) bbc| (a al co3 hs3 (X1;Y1;Z1;X2;Y2;Z2;X3;Y3;Z3))
EQ V = f(1;6) bbc| (a al co3 hs3 (-4;0;-4;-4;0;2;-3;3;-5)) = f(72;6) = 12
где определитель матрицы равен:
∆ = (-4)*(0*(-5)-3*2)-(-4)*(0*(-5)-3*(-4))+(-3)*(0*2-0*(-4)) = 72

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...