Даны координаты вершин пирамиды А1 А2 А3 А4 Найти длину ребра A1A2

Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4. Найти:
длину ребра A1A2;
угол между ребрами A1A2 и A1A4;
уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3;
площадь грани A1A2A3 и объем пирамиды;
показать, что векторы A1A2, A1A3 , A1A4 образуют базис и найти координаты вектора A2A3 в этом базисе;
10 A1 (0,2,7) A2 (4,2,5) A3
(0,7,1) A4 (1,5,0)

Решение:

1. Если ребро A1A2 обозначить за вектор A1A2, то длина ребра — это длина вектора. Находим координаты вектора A1A2:
A1A2=(4-0; 2-2; 5-7)=(4; 0; -2).
Если A1A2=(х;у:z), то его длина A1A2=x2+y2+z2.
Следовательно,
 A1A2=42+02+(-2)2=16+0+4=20≈4,5

2.  Угол между ребрами A1A2 и A1A4 – это угол между векторами A1A2 и A1A4. Находим координаты вектора A1A4.
A1A4=(1-0; 5-2; 0-7)=(1; 3; -7).
Из пункта 1) нам известны координаты вектора A1A2=(4; 0; -2).Угол между двумя векторами находится по формуле:
cosA1A2 , A1A4=A1A2 ∙ A1A4A1A2 ∙ A1A4
Если векторы A1A2 и A1A4 имеют координаты A1A2 =(х1;у1:z1),  A1A4= (х2;у2:z2) соответственно, то эта формула перепишется в виде:
cosA1A2 , A1A4=x1∙x2+y1∙y2+z1∙z2x12+y12+z12∙x22+y22+z22
Следовательно, получаем
cosA1A2 , A1A4=4∙1+0∙3+-2∙(-7)42+02+(-2)2∙12+32+(-7)2=
=4+0+1416+0+4∙1+9+49=1820∙59=95∙59≈0,5
Итак, φ≈60°.

Читайте также:  fx=x+cosxВыбрать из области определения интервал непрерывностиНазначить некоторое число равноотстоящих узлов и построить интерполяционный полином

3. Грань A1A2A3 имеет нормальный вектор n=A1A2×A1A3 . Находим координаты вектора A1A3.
A1A3=(0-0; 7-2; 1-7)=(0; 5; -6).
Из пункта 1) нам известны координаты вектора A1A2=(4; 0; -2).
n=A1A2×A1A3=ijk40-205-6=0+10i—24-0j+20-0k=10i+24j+20k
n=(10;24;20)
Для того, чтобы составить уравнение высоты, надо знать направляющий вектор  той прямой, где лежит высота. Т.к. A4H ⊥A1A2A3 (A4H  -высота), то (-параллелен прямой A4H , а — перпендикулярен A1A2A3). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой A4H  можно взять нормальный вектор плоскости A1A2A3.
Т.е. n=a=l;m;n=(10;24;20). Уравнение высоты имеет вид:
x-x4l=y-y4m=z-z4n
Итак, получили уравнение высоты A4H :
x-110=y-524=z20

4. Площадь грани A1A2A3 – это площадь треугольника A1A2A3. Если треугольник построен на векторах A1A2 и A1A3, то его площадь считается по формуле:
S∆=12A1A2×A1A3
Из пункта 3) имеем A1A2×A1A3=10i+24j+20k 
находим длину полученного вектора:
A1A2×A1A3=102+242+202=100+576+400=1076
Следовательно,
S=12∙1076=22692=269≈16,4
Объем пирамиды равен  объема параллелепипеда, построенного на векторах A1A2, A1A3 , A1A4. Координаты этих векторов найдены ранее: A1A2(4;0;-2), A1A3(0; 5; -6) , A1A4(1; 3; -7).
Vпарал-да=A1A2∙ A1A3 ∙A1A4=40-205-613-7=|4∙5∙(-7)-2∙3∙0-
-1∙6∙0+2∙5∙1-4∙(-6)∙3—7∙0∙0|=-140+0+0+10+72-0=
=-58=58
Следовательно, 
Vпир=16Vпарал-да=586=293≈9,7

5. Примем другие обозначения для векторов: A1A2=a, A1A3=b , A1A4=c, A2A3=d.
Сформулируем условие задачи с новыми обозначениями.Показать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
Находим координаты вектора A2A3.
A2A3=(0-4; 7-2; 1-5)=(-4; 5; -4).
Векторы a, b, c образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство αa+βb+γc=0. Записывая a, b, c в виде векторов – столбцов, получим α40-2+β05-6+γ13-7=000 .

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...