Даны вершины треугольника АВС: A6;5, B-6;0, C(-10;3). Найти:
а) уравнение стороны АВ;
б) уравнение высоты СН;
в) уравнение медианы АМ;
г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;
е) расстояние от точки С до прямой АВ.
Решение:
а) Прямая проходит через две точки A6;5 и B-6;0, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:x-x1x2-x1=y-y1y2-y1получим уравнение стороны АВ:
x-6-6-6=y-50-5 откуда -5x-6=-12(y-5) или 5x-12y+30=0;
б) Угловой коэффициент прямой АВ: kAB=512. С учетом условия перпендикулярности прямых АВ и СН угловой коэффициент высоты СН: kCH=-125
Составим уравнение высоты СН, проходящей через точку C(-10;3) с угловым коэффициентом -125, воспользуемся формулой y-y0=k(x-x0):
y-3=-125x+10 или 5y+12x+105=0;
в) Найдем координаты точки М – середины отрезка ВС:
x=-6-102=-8;y=0+32=32то есть M(-8;32)
Теперь по двум известным точкам А и М составляем уравнение медианы АМ:
x-6-8-6=y-532-5откуда-72x-6=-14(y-5) или -28y+7x+98=0;
г) Для нахождения координат точки N пересечения медианы АМ и высоты СН составляем систему уравнений:
-28y+7x+98=0,5y+12x+105=0;
-140y+35x+490=0,140y+336x+2940=0;
371x=-3430
x=-3430371=-991371
-28y+7∙-3430371+98=0
-28y=-7∙-3430371-98
-28y=24010371-98
y=441371=170371
Получили, что N(-991371;170371).
д) Так как прямая, проходящая через вершину C(-10;3), параллельна стороне АВ, то их угловые коэффициенты равны kCD=kAB=512. Тогда используя формулу
y-y0=k(x-x0), уравнение прямой CD имеет вид: y-3=512(x+10) или 5x-12y+86=0;
е) Расстояние от точки C(-10;3) до прямой АВ, заданной уравнением 5x-12y+86=0, вычисляем по формулеd=Ax0+By0+CA2+B2
d=CH=5∙-10-12∙3+8652+(-12)2=0
Решение задачи проиллюстрировано на рисунке.
