Динамическая межотраслевая модель производственной системы описывается системой линейных однородных дифференциальных уравнений: , где – вектор-столбец абсолютных приростов объема производства, – вектор-столбец объемов производства, – единичная матрица, – матрица коэффициентов прямых материальных затрат, – матрица коэффициентов капиталоемкости прироста производства (затраты производственного накопления на единицу прироста продукции соответствующего вида). Пусть дана двухотраслевая модель производственной системы с матрицей прямых материальных затрат и матрица коэффициентов капиталоемкости приростов производства . Найти объемы производства отраслей, если в начальный момент времени .
Решение:
Данная система дифференциальных уравнений имеет вид:
,
,
,
.
Продифференцируем первое уравнение по , подставим в полученное уравнение из второго уравнения и из первого уравнения:
,
,
– характеристическое уравнение,
,
.
Найдем :
,
.
Константы определим из начальных условий:
,.
Тогда получаем:
– искомые объемы производства.