ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Цель работы: решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей.
Индивидуальное задание
Используя метод конечных разностей, составьте приближенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности:
∂u∂t=a2∂2u∂x2
Удовлетворяющее условиям:
ux,0=fx,0≤x≤l
u0,t=φt,0≤t≤T
ul,t=ψt,0≤t≤T
Решение выполнить с шагом h по оси Ox, равным 0,2 и с четырьмя десятичными знаками.
Вариант a2
l
T
fx
φt
ψt
6 2 1 0,06 xx+1
0 3t+2
Решение:
Шаг по оси Ot выбираем из соотношения:
τ=h22a2=0,222*2=0,01
В этом случае расчетная формула приобретает вид:
ui,k+1=12ui-1,k+ui+1,k
Данная формула соответствует набору узлов, состоящему из трех узлов:
Строим прямоугольник, в котором разыскивается решение и покрываем его сеткой:
В крайних левых и правых узлах сетки из граничных условий u0,t=0 и u1,t=3t+2 получаем:
u0,0=u0,1=u0,2=u0,3=u0,4=u0,5=u0,6=0
u5,0=2;u5,1=2,03;u5,2=2,06;u5,3=2,09;u5,4=2,12;u0,5=2,15;u0,6=2,18
Из начального условия ux,0=x(x+1) находим значения функции в узлах нулевого слоя:
u1,0=0,24;u2,0=0,56;u3,0=0,96;u4,0=1,44
Дальнейшие расчеты ведутся по формуле
ui,k+1=12ui-1,k+ui+1,k
Для узлов первого слоя:
u1,1=12u0,0+u2,0=120+0,56=0,28
u2,1=12u1,0+u3,0=120,24+0,96=0,6
u3,1=12u2,0+u4,0=120,56+1,44=1
u4,1=12u3,0+u5,0=120,96+2=1,48
Для второго слоя:
u1,2=12u0,1+u2,1=120+0,6=0,3
u2,2=12u1,1+u3,1=120,28+1=0,64
u3,2=12u2,1+u4,1=120,6+1,48=1,04
u4,2=12u3,1+u5,1=121+2,03=1,515
И т.д. Представим результаты вычисления таблицей:
6 0,06 0 0,3613 0,7454 1,1688 1,6457 2,18
5 0,05 0 0,3494 0,7225 1,1413 1,615 2,15
4 0,04 0 0,335 0,6988 1,11 1,5838 2,12
3 0,03 0 0,32 0,67 1,0775 1,55 2,09
2 0,02 0 0,3 0,64 1,04 1,515 2,06
1 0,01 0 0,28 0,6 1 1,48 2,03
0 0 0 0,24 0,56 0,96 1,44 2
k
tkxi
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
i
0 1 2 3 4 5
