Экономическое моделирование

Содержание

Введение

1. Моделирование сезонных колебаний

2. Моделирование циклических колебаний

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Наука эконометрика является на данный момент времени быстроразвивающейся отраслью. Это наука об измерении и анализе экономических явлений, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям.

Эконометрика — это количественное выражение тех связей и соотношений, которые раскрыты и обоснованы экономической теорией. Эконометрика располагает огромным разнообразием типов моделей — от больших макроэкономических, включающих несколько сот и тысяч уравнений, до малых коинтеграционных моделей, предназначенных для решения специфических проблем.

Моделирование сезонных и циклических колебаний — цель моей работы.

1. Моделирование сезонных колебаний

Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные колебания. Рассмотрим подход методом скользящей средней и построение аддитивной (или мультипликативной) модели временного ряда. Модели, построенные на основе второго типа данных, называют моделями временных рядов.

Общий вид аддитивной модели:

Y = T + S + E (1)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

Y = T * S * E (2)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагают постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Основные шаги при процессе построения модели:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты S.

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т + Е) в аддитивной или (Т * Е) в мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или (Т * Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений (Т + Е) или (Т * Е).

6. Расчет абсолютных или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, то ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Пример. Построение мультипликативной модели временного ряда.

Пусть имеются поквартальные данные о прибыли компании за последние четыре года (табл. 1).

Таблица 1 Прибыль компании, тыс. долл. США

Квартал

Год

I

II

III

IV

1

72

100

90

64

2

70

92

80

58

3

62

80

68

48

4

52

60

50

30

Рис. 1 Прибыль компании.

График данного временного ряда (рис. 1) свидетельствует о наличии сезонных колебаний (период колебании равен 4) и общей убывающей тенденции уровней ряда. Прибыль компании в весенне-летний период выше, чем в осенне-зимний период. Т.к. амплитуда сезонных колебаний уменьшается, то можно предположить о существование мультипликативной модели. Определим ее компоненты.

1 шаг. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. В таблице 2 представлены результаты расчетов оценок сезонной компоненты.

аддитивный мультипликативный временной ряд

Таблица 2 Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

квартала,

t

Прибыль компании,

yt

Итого за

4

квартала

Скользящая средняя за 4 квартала

Центрированная скользящая средняя

Оценка сезонной компоненты

1

2

3

4

5

6

1

72

2

100

3

90

326

81,5

81,25

1,108

4

64

324

81,0

80,00

0,800

5

70

316

79,0

77,75

0,900

6

92

306

76,5

75,75

1,215

7

80

300

75,0

74,00

1,081

8

58

292

73,0

71,50

0,811

9

62

280

70,0

68,50

0,905

10

80

268

67,0

65,75

1,217

11

68

258

64,5

63,25

1,075

12

48

248

62,0

59,50

0,807

13

52

228

57,0

54,75

0,950

14

60

210

52,5

50,25

1,194

15

50

192

48,0

16

30

Читайте также:  Обоснование размещения предприятия по производству легковых автомобилей

2 шаг. Найдем оценки сезонной компоненты как частное о деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (табл. 2). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 3).

Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты S. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов цикле. В данном случае число периодов одного сезона (год) равен 4 (четыре квартала).

Таблица 3 Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели

Показатели

Год

№ квартал, i

I

II

III

IV

1

2

3

4

0,900

0,905

0,950

1,215

1,217

1,194

1,108

1,081

1,075

0,800

0,817

0,807

Итого за i-й квартал (за все года)

2,755

3,626

3,264

2,424

Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала, Si

0,918

1,209

1,088

0,808

Скорректированная сезонная компоненты, Si

0,913

1,202

1,082

0,803

Имеем:

0,918 + 1,209 + 1,088 + 0,808 = 4,023

Определим корректирующий коэффициент:

k = 4/4,023 = 0,9943

Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент k.

Si = Si * k, где i = 1/4 (3)

Проверим условие равенства 4 суммы значений сезонной компоненты: 0,913 + 1,202 + 1,082 + 0,803 = 4

Получим следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S1 = 0,913;

II квартал: S2 = 1,202;

III квартал: S3 = 1,082;

IV квартал: S4 = 0,803.

Занесем полученные значения в таблицу 4 для соответствующих кварталов каждого года.

Таблица 4 Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели

t

yt

St

T * E = Yt /Si

T

T * S

E = yt/(T*S)

E = yt-(T*S)

(E)2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

72

0,913

78,86

87,80

80,16

0,898

-8,16

66,66

2

100

1,202

83,19

85,03

102,20

0,978

-2,20

4,86

3

90

1,082

83,18

82,25

89,00

1,011

1,00

1,00

4

64

0,803

79,70

79,48

63,82

1,003

0,18

0,03

5

70

0,913

76,67

76,70

70,03

1,000

-0,03

0,00

6

92

1,202

76,54

73,93

88,86

1,035

3,14

9,85

7

80

1,082

73,94

71,15

76,99

1,039

3,01

9,08

8

58

0,803

72,23

68,38

54,91

1,056

3,09

9,57

9

62

0,913

67,91

65,60

59,90

1,035

2,10

4,43

10

80

1,202

66,56

62,83

75,52

1,059

4,48

20,08

11

68

1,082

62,85

60,05

64,98

1,047

3,02

9,14

12

48

0,803

59,78

57,28

45,99

1,044

2,01

4,03

13

52

0,913

56,96

54,50

49,76

1,045

2,24

5,02

14

60

1,202

49,92

51,73

62,18

0,965

-2,18

4,73

15

50

1,082

46,21

48,95

52,97

0,944

-2,97

8,79

16

30

0,803

37,36

46,18

37,08

0,809

-7,08

50,12

3 шаг. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Получим величины Т * Е = Y/S (табл. 4), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

4 шаг. Определим компоненту Т в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (Т * Е). Результаты аналитического выравнивания этого ряда следующие:

Константа 90,585150

Коэффициент регрессии -2,773250

Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,225556

R-квадрат 0,915239

Число наблюдений 16

Число степеней свободы 14

Уравнение тренда имеет следующий вид: Т = 90,59 — 2,773 * t

Подставляя в это уравнение значения t = 1, … , 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (табл. 4). График уравнения тренда показан на рис. 2.

Рис. 2 Прибыль компании (фактические и выравненные по мультипликативной модели значения уровней ряда).

5 шаг. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Значения (Т * S) графически представлены на рис. 2.

6 шаг. Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле:

Е = Y/(T * S) (4)

Численные значения ошибки приведены в табл. 4 в графе 7. Если временной ряд ошибок не содержит автокорреляции, его можно использовать вместо исходного ряда для изучения его взаимосвязи с другими временными рядами. Для того чтобы сравнить мультипликативную модель и другие модели временного ряда, необходимо использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как:

Е = уt — (Т * S) (5)

В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 207,40. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней этого ряда от среднего значения равна 5023. Для дисперсии уровней ряда равна:

Читайте также:  Какие задачи решает товарный знак. Особенности принятия решений в управлении инновациями

(1 — 207,40/5023) = 0,959, или 95,9%.

Выявление и устранение сезонного эффекта используются в двух направлениях. Во-первых, воздействие сезонных колебаний следует устранять на этапе предварительной обработки исходных данных при изучении взаимосвязи нескольких временных рядов. Во-вторых, это анализ структуры одномерных временных рядов с целью прогнозирования уровней ряда в будущие моменты времени.

2. Моделирование циклических колебаний

Моделирование циклических колебаний в целом осуществляется аналогично моделированию сезонных колебаний. Рассмотрим подход метода моделирования временного ряда, содержащего циклические колебания — построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных.

Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. Например, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре независимые переменные — фактор времени и три фиктивные переменные. Каждая фиктивная переменная отражает циклическую компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных периодов.

Пусть имеется временной ряд, содержащий циклические колебания периодичностью k. Модель регрессии с фиктивными переменными для этого ряда будет иметь вид:

yt = a + b * t + c1x1 + … + cjxj + … + ck-1xk-1 + t (6)

1 для каждого j внутри каждого цикла,

где хj =

0 во всех остальных случаях.

Например, при моделировании циклических колебаний на основе поквартальных данных за несколько лет число кварталов внутри одного года k = 4, а общий вид модели следующий:

yt = a + b * t + c1x1 + c2x2 + c3x3 + t (7)

1 для первого квартала,

где х1 =

0 во всех остальных случаях.

1 для второго квартала,

где х2 =

0 во всех остальных случаях.

1 для третьего квартала,

где х3 =

0 во всех остальных случаях.

Уравнение тренда для каждого квартала имеет вид:

для I квартала: yt = a + b * t + c1 + t ; (8)

для II квартала: yt = a + b * t + c2 + t ; (9)

для III квартала: yt = a + b * t + c3 + t ; (10)

для IV квартала: yt = a + b * t + t . (11)

Т.о. фиктивные переменные позволяют дифференцировать величину свободного члена уравнения регрессии для каждого квартала. Она составит:

для I квартала (a + c1);

для II квартала (a + c2);

для III квартала (a + c3);

для IV квартала a.

Параметр b в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденций. Модель (7) есть аналог аддитивной модели временного ряда, т.к. фактический уровень временного ряда есть сумма трендовой (T), циклической (C) и случайной (E) компоненты (Y = T + C + E).

Недостаток модели с фиктивными переменными для описания циклических колебаний — это наличие большого количества переменных. Например, необходимо построить модель для описания помесячных периодических колебаний за несколько лет. Такая модель будет включать 12 независимых переменных (11 фиктивных переменных и фактор времени). В такой ситуации число степеней свободы невелико, что снижает вероятность получения статистических значимых оценок параметров уравнения регрессии.

Заключение

Эконометрика — наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.

Моделирование циклических колебаний осуществляется аналогично моделированию сезонных колебаний. Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные и циклические колебания. В своей работе я рассмотрела подход методом скользящей средней и построение аддитивной (или мультипликативной) модели временного ряда, и подход метода моделирования временного ряда и построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда. Процессе построения модели включает в себя 6 шагов.

Количество фиктивных переменных во второй модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. Недостаток модели с фиктивными переменными для описания циклических колебаний — это наличие большого количества переменных.

Список использованной литературы

1. Ватник П.А. Эконометрика: Учебник для вузов. — М., 2001. — 280 с.

2. Кантрович Г.Г. Эконометрика. — М.: ГУ-ВШЭ, 2011.

3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2013. — 311 с.

4. Эконометрика/Под ред. Н.И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2010. — 422 с.

5. Яновский Л.П. Введение в эконометрику: учебное пособие. — 2-е изд., доп. — М.: КНОРУС; 2007. — 256 с.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...