Емкость склада имеет емкость шести единиц хранения (например, шесть контейнеров, шесть вагонов и т.д.). В течение каждого дня в хранилище поступает случайное количество продукции X. Величины X независимы и одинаково распределены:
Х 0 1 2 3
Р
0,1 0,1 0,5 0,3
При заполнении хранилища избыток поступившей продукции теряется. В конце каждого дня из хранилища отпускается потребителю две единицы продукции (или весь запас, если он меньше двух).
Для стационарного режима требуется найти: вероятность того, что поставляемая продукция будет полностью (без потерь) принята на хранение; вероятность того, что отпуск продукции будет производиться в полном объеме.
Решение:
Рассмотрим состояние хранилища в конце дня после отгрузки. Обозначим состояния S0 (хранилище пустое) S1 – в хранилище осталась 1 единица, и т.д. S2,S3,S4 (больше 4-х единиц остаться не может, так как при полной загрузке склада после отгрузки остается 6-2=4 единицы)
Для определения искомых вероятностей составим переходную матрицу:
S0 S1 S2 S3 S4
S0 0,7 0,3 0 0 0
S1 0,2 0,5 0,3 0 0
S2 0,1 0,1 0,5 0,3 0
S3 0 0,1 0,1 0,5 0,3
S4 0 0 0,1 0,1 0,8
Поясним, как заполнялась матрица. Если система находилась в состоянии S0, то она останется в этом же состоянии, если в течение следующего дня на склад поступить 0,1 или 2 ед продукции (тогда в конце дня склад опять будет пустым).
Если система находилась в состоянии S0, то она перейдет в состояние S1, если на склад поступит 3 единицы продукции (тогда в конце дня склад будет 3-2=1 единиц).
Переход в другие состояния из S0 невозможен, так как на склад не поступает более 3-х единиц в течение дня.
Аналогично заполняем для остальных состояний.
Исходя из данной матрицы запишем систему для определения финальных вероятностей:
17716540005р0=0,7р0+0,2р1+0,1р2
р1=0,3р0+0,5р1+0,1р2+0,1р3
р2=0,3р1+0,5р2+0,1р3+0,1р4
р3=0,3р2+0,5р3+0,1р4
р4=0,3р3+0,8р4
17716540005-0,3р0+0,2р1+0,1р2=0
0,3р0-0,5р1+0,1р2+0,1р3=0
0,3р1-0,5р2+0,1р3+0,1р4=0
0,3р2-0,5р3+0,1р4=0
0,3р3-0,2р4=0
Сумма вероятностей должна быть равна 1: р0+р1+р2+р3+р4=1, этим уравнением можно заменить любое уравнение системы.
Из последнего уравнения: р4=1,5р3
Из четвертого уравнения: 0,3р2-0,5р3+0,15р3=0 р2=
Из третьего уравнения: 0,3р1-0,5р3+0,1р3+0,15р3=0 р1=р3
Из второго уравнения: 0,3р0-0,5р3+0,1р2+0,1р3=0
р0=р3= р3
Подставим в условие нормировки:
р3+р3+р3+р3+1,5р3=1
р3= р4= р2= р1= р0=
Поставляемая продукция будет полностью (без потерь) принята на хранение, если
– в хранилище, после очередной отгрузки, останется не болеетрех единиц продукции, вероятность этого р0+р1+р2+р3
– в хранилище останется четыре единицы продукции, но до очередной отгрузки поступит не более двух единиц продукции (вероятность чего равна 0,1+0,1+0,5=7
Поэтому вероятность полного приема продукции равна р0+р1+р2+р3+0,7р4==0,924
Вероятность того, что отпуск продукции будет производиться в полном объеме (в количестве двух единиц), равна
р2+р3+р4+р0(0,5+0,3)+р1(0,1+0,5+0,3)= 0,943
Ответ. 0, 924; 0,943
