Формы распределения: асимметрия, эксцесс

Любое реальное распределение можно изобразить схематически в виде кривой, воспроизводящей основные особенности данного распределения. Под кривой распределения понимается графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот, функционально связанных с изменением вариант. 

Элементами распределения являются:

  • варианта
  • частота

В зависимости от вида кривых, изображающих распределение, выделяют несколько основных типов распределения:

  • одновершинные
  • многовершинные

К одновершинным относятся те, в которых один, обычно центральный вариант, имеет наибольшую частоту (плотность распределения). Частоты же остальных вариантов убывают по мере удаления от центрального. 

Если частоты убывают слева и справа от центрального значения одинаково, то такие распределения называются симметричными. 

Если частоты убывают слева и справа от центра распределения с разной скоростью, то такие распределения называют асимметричными. 

Многовершинные распределения — это распределения, в которых несколько центров, т. е. такие, у которых несколько максимумов  частот.

Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения.

Многовершинность распределения свидетельствует о неоднородности изучаемого явления. В этом случае необходимо произвести перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает, наряду с оценкой его однородности, вычисление показателей асимметрии и эксцесса.

Кривые распределения бывают:

  1. симметричными
  2. асимметричными.

В зависимости от того, какая ветвь кривой распределения вытянута, различают:

  1. правостороннюю асимметрию
  2. левостороннюю асимметрию.

Для характеристики степени асимметрии двух или нескольких рядов пользуются коэффициентом асимметрии.

Для одновершинных распределений:

    [{A_s} = frac{{bar X - {M_o}}}{sigma }quad quad {A_s} = frac{{bar X - {M_e}}}{sigma }]

Более точным является коэффициент асимметрии, рассчитанный как отношение центрального момента третьего порядка (μ3) к среднеквадратическому отклонению в 3-й степени (Ϭ3):

    [{A_s} = frac{{{mu ^3}}}{{{sigma ^3}}}; to {mu ^3} = frac{{sumlimits_{i = 1}^n {{{({X_i} - bar X)}^3}}  cdot {f_i}}}{{sumlimits_{i = 1}^n {{f_i}} }}]

1. Для симметричного распределения: 

    [{A_s} = 0; to quad bar X = {M_e} = {M_o}]

Соответственно, в симметричном распределении центральный момент 3-го порядка равен нулю (μ3=0), т. е. алгебраическая сумма отклонений отдельных значений признака (вариант), расположенных слева и справа от средней, равна нулю. График симметричного распределения симметричен относительно точки максимума.

Для несимметричных распределений центральные моменты нечетного порядка отличны от нуля:

2. Асимметрия положительна (As>0), если длинная часть кривой распределения расположена справа от модыо). В этом случае соотношение между средней, медианой и модой нарушено:

    [{M_o} < ,{M_e} < ,bar X; to ;bar X - {M_o} = '' + '']

 3. Асимметрия отрицательна (As<0), если длинная часть кривой распределения расположена слева от модыо).

    [{M_o} > ,{M_e} > bar X; to ;bar X — {M_o} = » — »]» class=»ql-img-displayed-equation» height=»18″ src=»../../../wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2011b61110f43cd51b2db47cc1f9af0_l3.png» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» width=»269″></p>
</p>
<p></span></p>
<p style=

 As< 0.25 – слабая асимметрия

As= 0.25-0.5 – умеренная асимметрия

As> 0.5 – крайне асимметричное распределение

Для оценки «крутизны» (островершинности) распределения пользуются характеристикой – эксцессом.

Коэффициент эксцесса:

    [{E_X} = frac{{{mu ^4}}}{{{sigma ^4}}} - 3; to {mu ^4} = frac{{sumlimits_{i = 1}^n {{{({X_i} - bar X)}^4}}  cdot {f_i}}}{{sumlimits_{i = 1}^n {{f_i}} }}]

1. Для нормального распределения:

    [{E_X} = 0,, to ;,frac{{{mu ^4}}}{{{sigma ^4}}} = 3]

2. Выше нормального (островершинное распределение):

    [{E_X} = frac{{{mu ^4}}}{{{sigma ^4}}} - 3 > 0; to frac{{{mu ^4}}}{{{sigma ^4}}} > 3]» class=»ql-img-displayed-equation» height=»39″ src=»../../../wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c7e28a8ac4557db3ee469f5bdb44070_l3.png» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» width=»222″></p>
</p>
<p></span></p>
<p style=3. Ниже нормального (плосковершинное распределение):

    [{E_X} = frac{{{mu ^4}}}{{{sigma ^4}}} - 3 < 0; to frac{{{mu ^4}}}{{{sigma ^4}}} < 3]

Распределение объемов молока по жирности

1. Определим средний % жирности всего объема молока по средней арифметической взвешенной:

    [bar X = frac{{sumlimits_{i = 1}^n {{x_i} cdot {f_i}} }}{{sumlimits_{i = 1}^n {{f_i}} }} = frac{{9196}}{{2580}} = 3.564,left( %  right)]

2. Определим среднеквадратическое отклонение взвешенное:

    [{sigma _X} = sqrt {frac{{sumlimits_{i = 1}^n {{{({X_i} - bar X)}^2}}  cdot {f_i}}}{{sumlimits_{i = 1}^n {{f_i}} }}}  = sqrt {frac{{172.919}}{{2580}}}  = 0.2589]

3. Определим моду. Модальным интервалом будет интервал с наибольшей частотой. Это интервал 3,4-3,6, на который приходится 780 ц молока.

    [{M_o} = {X_{{M_o}}} + hfrac{{{f_2} - {f_1}}}{{left( {{f_2} - {f_1}} right) + left( {{f_2} - {f_3}} right)}} = 3.4 + 0.2frac{{780 - 450}}{{left( {780 - 450} right) + left( {780 - 620} right)}} = 3.535]

4. Определим медиану. Медианным интервалом является интервал 3,4-3,6, т. к. он первый, на который приходится более 50% суммы накопленных частот.

    [{M_e} = {X_{{M_e}}} + hfrac{{frac{{sum {{f_i}} }}{2} - sum {{f_{{M_e} - 1}}} }}{{{f_{{M_t}}}}} = 3.4 + 0.2frac{{frac{{2580}}{2} - 680}}{{780}} = 3.556,(% )]

5. Коэффициент асимметрии:

    [{A_s} = frac{{{mu ^3}}}{{{sigma ^3}}} = frac{{0.00109}}{{0.01735}} = 0.0629 > 0]» class=»ql-img-displayed-equation» height=»40″ src=»../../../wp-content/ql-cache/quicklatex.com-817b1bfe224c20ce816111c373e908f1_l3.png» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» width=»258″></p>
</p>
<p></span></p>
<p style=

    [{mu ^3} = frac{{sumlimits_{i = 1}^n {{{({X_i} - bar X)}^3}}  cdot {f_i}}}{{sumlimits_{i = 1}^n {{f_i}} }} = frac{{2,81534}}{{2580}} = 0,00109]

6. Коэффициент эксцесса:

    [{E_X} = frac{{{mu ^4}}}{{{sigma ^4}}} - 3 = frac{{0.01078}}{{0.00449}} - 3 =  - 0.5999 < 0]

    [{mu ^4} = frac{{sumlimits_{i = 1}^n {{{({X_i} - bar X)}^4}}  cdot {f_i}}}{{sumlimits_{i = 1}^n {{f_i}} }} = frac{{27,8161}}{{2580}} = 0,01078]

Данное распределение плосковершинное (Ex=-0.5999<0), со слабо выраженной правосторонней асимметрией (As: 0 < 0.0629 < 0.25).

    [{M_o} < ,{M_e} < ,bar X; to ;3.535 < 3.556 < 3.564]

 

 

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...