Формы распределения: асимметрия, эксцесс

Uncategorized

Любое реальное распределение можно изобразить схематически в виде кривой, воспроизводящей основные особенности данного распределения. Под кривой распределения понимается графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот, функционально связанных с изменением вариант.

Элементами распределения являются:

варианта
частота

В зависимости от вида кривых, изображающих распределение, выделяют несколько основных типов распределения:

одновершинные
многовершинные

К одновершинным относятся те, в которых один, обычно центральный вариант, имеет наибольшую частоту (плотность распределения). Частоты же остальных вариантов убывают по мере удаления от центрального.

Если частоты убывают слева и справа от центрального значения одинаково, то такие распределения называются симметричными.

Если частоты убывают слева и справа от центра распределения с разной скоростью, то такие распределения называют асимметричными.

Многовершинные распределения — это распределения, в которых несколько центров, т. е. такие, у которых несколько максимумов частот.

Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения.

Многовершинность распределения свидетельствует о неоднородности изучаемого явления. В этом случае необходимо произвести перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает, наряду с оценкой его однородности, вычисление показателей асимметрии и эксцесса.

Кривые распределения бывают:

симметричными
асимметричными.

В зависимости от того, какая ветвь кривой распределения вытянута, различают:

правостороннюю асимметрию
левостороннюю асимметрию.

Для характеристики степени асимметрии двух или нескольких рядов пользуются коэффициентом асимметрии.

Для одновершинных распределений:

$[{A_s} = frac{{bar X - {M_o}}}{sigma }quad quad {A_s} = frac{{bar X - {M_e}}}{sigma }]$

Более точным является коэффициент асимметрии, рассчитанный как отношение центрального момента третьего порядка (μ³) к среднеквадратическому отклонению в 3-й степени (Ϭ³):

$[{A_s} = frac{{{mu ^3}}}{{{sigma ^3}}}; to {mu ^3} = frac{{sumlimits_{i = 1}^n {{{({X_i} - bar X)}^3}} cdot {f_i}}}{{sumlimits_{i = 1}^n {{f_i}} }}]$

1. Для симметричного распределения:

$[{A_s} = 0; to quad bar X = {M_e} = {M_o}]$

Соответственно, в симметричном распределении центральный момент 3-го порядка равен нулю (μ³=0), т. е. алгебраическая сумма отклонений отдельных значений признака (вариант), расположенных слева и справа от средней, равна нулю. График симметричного распределения симметричен относительно точки максимума.

Для несимметричных распределений центральные моменты нечетного порядка отличны от нуля:

2. Асимметрия положительна (A_s>0), если длинная часть кривой распределения расположена справа от моды (М_о). В этом случае соотношение между средней, медианой и модой нарушено:

$[{M_o} < ,{M_e} < ,bar X; to ;bar X - {M_o} = '' + '']$

3. Асимметрия отрицательна (A_s<0), если длинная часть кривой распределения расположена слева от моды (М_о).

$[{M_o} > ,{M_e} > bar X; to ;bar X – {M_o} = ” – ”]” class=”ql-img-displayed-equation” height=”18″ src=”../../../wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2011b61110f43cd51b2db47cc1f9af0_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”269″> <p style=$

A_s< 0.25 – слабая асимметрия

A_s= 0.25-0.5 – умеренная асимметрия

A_s> 0.5 – крайне асимметричное распределение

Для оценки «крутизны» (островершинности) распределения пользуются характеристикой – эксцессом.

Коэффициент эксцесса:

$[{E_X} = frac{{{mu ^4}}}{{{sigma ^4}}} - 3; to {mu ^4} = frac{{sumlimits_{i = 1}^n {{{({X_i} - bar X)}^4}} cdot {f_i}}}{{sumlimits_{i = 1}^n {{f_i}} }}]$

1. Для нормального распределения:

$[{E_X} = 0,, to ;,frac{{{mu ^4}}}{{{sigma ^4}}} = 3]$

2. Выше нормального (островершинное распределение):

$[{E_X} = frac{{{mu ^4}}}{{{sigma ^4}}} - 3 > 0; to frac{{{mu ^4}}}{{{sigma ^4}}} > 3]” class=”ql-img-displayed-equation” height=”39″ src=”../../../wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c7e28a8ac4557db3ee469f5bdb44070_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”222″> <p style=$ 3. Ниже нормального (плосковершинное распределение):

$[{E_X} = frac{{{mu ^4}}}{{{sigma ^4}}} - 3 < 0; to frac{{{mu ^4}}}{{{sigma ^4}}} < 3]$

Распределение объемов молока по жирности

1. Определим средний % жирности всего объема молока по средней арифметической взвешенной:

$[bar X = frac{{sumlimits_{i = 1}^n {{x_i} cdot {f_i}} }}{{sumlimits_{i = 1}^n {{f_i}} }} = frac{{9196}}{{2580}} = 3.564,left( % right)]$

2. Определим среднеквадратическое отклонение взвешенное:

$[{sigma _X} = sqrt {frac{{sumlimits_{i = 1}^n {{{({X_i} - bar X)}^2}} cdot {f_i}}}{{sumlimits_{i = 1}^n {{f_i}} }}} = sqrt {frac{{172.919}}{{2580}}} = 0.2589]$

3. Определим моду. Модальным интервалом будет интервал с наибольшей частотой. Это интервал 3,4-3,6, на который приходится 780 ц молока.

$[{M_o} = {X_{{M_o}}} + hfrac{{{f_2} - {f_1}}}{{left( {{f_2} - {f_1}} right) + left( {{f_2} - {f_3}} right)}} = 3.4 + 0.2frac{{780 - 450}}{{left( {780 - 450} right) + left( {780 - 620} right)}} = 3.535]$

4. Определим медиану. Медианным интервалом является интервал 3,4-3,6, т. к. он первый, на который приходится более 50% суммы накопленных частот.

$[{M_e} = {X_{{M_e}}} + hfrac{{frac{{sum {{f_i}} }}{2} - sum {{f_{{M_e} - 1}}} }}{{{f_{{M_t}}}}} = 3.4 + 0.2frac{{frac{{2580}}{2} - 680}}{{780}} = 3.556,(% )]$

5. Коэффициент асимметрии:

$[{A_s} = frac{{{mu ^3}}}{{{sigma ^3}}} = frac{{0.00109}}{{0.01735}} = 0.0629 > 0]” class=”ql-img-displayed-equation” height=”40″ src=”../../../wp-content/ql-cache/quicklatex.com-817b1bfe224c20ce816111c373e908f1_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”258″> <p style=$

$[{mu ^3} = frac{{sumlimits_{i = 1}^n {{{({X_i} - bar X)}^3}} cdot {f_i}}}{{sumlimits_{i = 1}^n {{f_i}} }} = frac{{2,81534}}{{2580}} = 0,00109]$

6. Коэффициент эксцесса:

$[{E_X} = frac{{{mu ^4}}}{{{sigma ^4}}} - 3 = frac{{0.01078}}{{0.00449}} - 3 = - 0.5999 < 0]$

$[{mu ^4} = frac{{sumlimits_{i = 1}^n {{{({X_i} - bar X)}^4}} cdot {f_i}}}{{sumlimits_{i = 1}^n {{f_i}} }} = frac{{27,8161}}{{2580}} = 0,01078]$

Данное распределение плосковершинное (E_x=-0.5999<0), со слабо выраженной правосторонней асимметрией (A_s: 0 < 0.0629 < 0.25).

$[{M_o} < ,{M_e} < ,bar X; to ;3.535 < 3.556 < 3.564]$

Формы распределения: асимметрия, эксцесс

Распределение объемов молока по жирности

Готовые работы на продажу

Кризисы в тенденциях макро и микроразвития

Типология и причины девиаций

YanaT

Компания

Категории

Поддержка

Соцсети