Функция y = y (x) задана таблицей своих значений. Применяя метод наименьших квадратов, приблизить функцию многочленами 1-й и 2-й степеней. Для каждого приближения определить величину среднеквадратичной погрешности. Построить точечный график функции и графики многочленов.
x
-4,6 -2,3 0 2,3 4,6
y
1,9 5,7 8,4 12 12,3
Решение:
Будем использовать для аппроксимации функции линейную модель , где — заданные базисные функции, а — параметры модели, коэффициенты обобщенного многочлена.
Отказываясь от требования выполнения в точках точных равенств, следует все же стремится к тому, чтобы в этих точках выполнялись соответствующие приближенные равенства .
Наиболее часто используется линейная модель с базисными функциями .
Система приближенных равенств:
относительно коэффициентов многочлена
Одним из критериев выбора параметров линейной модели является критерий наименьших квадратов: параметры выбирают так, чтобы среднеквадратичное отклонение было минимальным. Ясно, что минимум среднеквадратичного отклонения достигается в той же точке, что и минимум функции
В силу необходимого условия экстремума функции нескольких переменных параметры линейной модели удовлетворяют условию . Посчитаем частную производную функции по :
После несложных вычислений получаем нормальную систему метода наименьших квадратов , .
Доказано, что для линейно независимых базисных функций система имеет единственное решение. Очевидно, что в случае и , совпадает с интерполяционным многочленом. Однако метод наименьших квадратов обычно применяют при .
В случае приближения алгебраическими многочленами нормальная система принимает следующий вид:
,
Запишем систему в развернутом виде в двух наиболее простых случаях m=1,m=2.
m=1, приближение осуществляется многочленом 1-ой степени P1(x)=a0+a1x, нормальная система имеет вид:
m=2, используется многочлен 2-ой степени P1(x)=a0+a1x+a2x2,нормальная система имеет вид:
Проведем расчета для исходных данных.
Предварительно вычислим коэффициенты для нормальных систем
m=1. Расширенная матрица нормальной система принимает вид:
Откуда находим коэффициенты многочлена P1x=a1x+a0:
P1x=1,1783x+8,06.
m=2. Расширенная матрица нормальной система принимает вид:
Откуда находим коэффициенты многочлена P2x=a2x2+a1x+a0:
P2x=-0,8237×2+1,17826x+8,93143.
Графики исходной функции yx и многочленов P1x и P2x:
Найдем среднеквадратические отклонения многочленов и заданной функции
Откуда видим, что многочлен второй степени точнее аппроксимирует заданную функцию.
