года 3-6 6-9 9-12 Более 12 лет
человек 26 18 8 4 2
По данному интервальному ряду найти:
– размах ряда;
– статистический ряд;
– среднюю арифметическую;
– дисперсию;
– линейное отклонение ряда;
– среднее квадратическое отклонение;
– коэффициент линейного отклонения;
– коэффициент квадратического отклонения;
– асимметрию;
– эксцесс.
Решение:
В задаче признак Х – это остаток срока освободившихся по УДО осужденных, соответствующие частоты ni – это количество человек. В качестве значений признака Х возьмем середины соответствующих интервалов группировки. Первый и последний открытые интервалы считаем длиной h=3 года также, как и все остальные.
Составим статистический ряд и вычислим необходимые в дальнейшем величины (табл.1).
Таблица 1 – Расчетная таблица
Номер интервала,
i Границы интервалов Середина интервала,
хi ni xini x2ini |xi-xср|ni (xi-xср)3ni (xi-xср)4ni
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 1,5 26 39 58,5 72,62 -566,545 1582,419
2 3 6 4,5 18 81 364,5 3,72 0,159 0,033
3 6 9 7,5 8 60 450 25,66 263,843 846,116
4 9 12 10,5 4 42 441 24,83 956,497 5936,877
5 12 15 13,5 2 27 364,5 18,41 1560,881 14370,870
Сумма 58 249 1678,5 145,24 2214,835 22736,314
Средние – 4,293 28,940 2,504 38,187 392,005
По данным таблицы 1 находим среднюю арифметическую (среднее значение признака):
Для определения меры вариации признака используются абсолютные и относительные показатели вариации.
К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Размах вариации является самым простым из абсолютных показателей вариации и представляет собой разность меду максимальным и минимальным значениями признака:
где – максимальное значение признака в совокупности,
– минимальное значение признака в совокупности.
Величина размаха вариации зависит только от крайних значений и не учитывает всех изменений варьирующего признака в пределах изучаемой совокупности. Поэтому при изучении вариации нельзя ограничиваться расчетом только этого показателя. Для анализа вариации необходимы показатели, дающие обобщенную характеристику всех колебаний варьирующего признака.
Среднее линейное отклонение является простейшим показателем такого типа и представляет собой среднюю величину абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от их средней арифметической величины.
Среднее линейное отклонение для сгруппированных данных рассчитывается так:
.
Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Возведение в квадрат позволяет резко усилить различия в величинах отклонений.
Дисперсия для сгруппированных данных рассчитывается так:
.
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:
Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение выражаются в именованных числах, т.е. имеют единицу измерения (такую же, как и значения признака). Поэтому их нельзя непосредственно использовать для сравнения степени вариации по одному и тому же признаку в двух группах с разным уровнем средних, а также для сравнения вариации двух различных признаков в одной группе. В этих случаях применяются следующие относительные показатели вариации.
Коэффициент осцилляции:
.
Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации):
.
Коэффициент вариации:
.
Коэффициент вариации позволяет не только получить обобщающую характеристику вариации признака в совокупности, но и дает возможность сделать выводы об однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. В нашем случае коэффициент вариации больше 33%, поэтому совокупность показателей остатков срока осужденных не является однородной.
Находим коэффициент асимметрии:
Находим эксцесс:
.
Литература
1. Общая теория статистики: Учебник / Под ред, И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 655 с.
2.Теория статистики: Учебник / Под ред. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 655 с.
3. Общая теория статистики. Под редакцией А.А.Спирина, О.Э.Башиной,- М. : Финансы и статистика, 1994.
4. Теория вероятности и математическая статистика. В.Е.Гмурман. М. «Высшая школа», 2003.
5. Общая теория статистики: Практикум. Г.Л.Громыко,- М.: ИНФРА-М, 1999.- 139 с.
6. Общая теория статистики: Учебник. М.Р.Ефимова, Е.В.Петрова, В.Н.Румянцев, – М.: ИНФРА-М, 1998.–416 с.
