Грани пластины x=0 и x=7 поддерживаются при нулевой температуре. Коэффициент теплопроводности α=5. Начальное распределение температуры: в левой половине пластины температура была постоянна и равна T0=8, в правой была равна нулю. Найти закон выравнивания температуры.

Грани пластины x=0 и x=7 поддерживаются при нулевой температуре. Коэффициент теплопроводности α=5. Начальное распределение температуры: в левой половине пластины температура была постоянна и равна T0=8, в правой была равна нулю. Найти закон выравнивания температуры.
Решение: Функция температуры пластины u(x,t) удовлетворяет уравнению теплопроводности
ut’=5uxx»,
ut’=a2uxx»; 0<x<7; 0<t<∞,
(1)
Граничные условия
ux=0=0; ux=7=0,
(2)
Начальное условие
ut=0=u0x=T0=8 0<x<72 0, 72<x<7.
(3)
Для решения начально-краевой задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T’ t=5X»(x)∙T(t)
Разделим равенство на 5Xx∙T(t)
T'(t)5T(t)=X»xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T’t+5λTt=0,
X»(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
X0⋅Tt=0, X7⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X7=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X»(x)+λXx=0X0=0, X7=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X7=C2 sin7λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin7λ=0,
7λ=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πk72, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xkx=sinπkx7, k=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk’t+5πk72Tkt=0,
Tk’t+5π2k249Tkt=0,
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Ake-5π2k249t.
Решение ux,t исходной задачи записывается в виде ряда
ux,t=k=1∞TktXkx=k=1∞Ake-5π2k249tsinπkx7.
Коэффициенты Ak этого ряда найдем из начального условия (3)
ut=0=k=1∞Ak sinπkx7=u0(x).
Коэффициенты Ak представляют собой коэффициенты разложения функции u0(x) в ряд Фурье по собственным функциям sinπkx7k=1∞
Ak=2707u0xsinπkx7dx=270728sinπkx7dx=167⋅7πk-cosπkx7072=
=-16πkcosπk2-1=-16πkcosπk2-1=16πk1-cosπk2.
Таким образом, решение исходной начально-краевой задачи имеет вид
ux,t=k=1∞16πk1-cosπk2e-5π2k249tsinπkx7.
Ответ: Закон выравнивания температуры имеет вид
ux,t=16πk=1∞1k1-cosπk2e-5π2k249tsinπkx7.
Замечание. В задаче 1, наверное, подразумевалась именно такая постановка, как написала (судя по тому, как записана задача №2). Но на самом деле уравнение теплопроводности записывается следующим образом:
cρut’=αuxx»,
где c – удельная теплоемкость материала пластины, ρ – ее плотность, α –коэффициент теплопроводности. Уравнение можно переписать в виде
ut’=χuxx»,
где χ=αcρ – коэффициент температуропроводности.
Но поскольку в условии задано число α=5, а про материал пластины ничего не сказано (плотность и теплоемкость не известны), то, наверное, все-таки подразумевается запись уравнения в виде
ut’=5uxx»
Т.е. считается что α=5 это температуропроводность, или что уравнение сразу было обезразмерено и α=5 – это безразмерная теплопроводность.
Но если, вдруг, все-таки возникнут к вам вопросы, то надо будет везде заменить α на αcρ.
Поэтому если это протащить через все решение, то в конце ответ записался бы в виде
ux,t=16πk=1∞1k1-cosπk2e-5π2k249cρtsinπkx7.
Но скорее всего ничего менять не потребуется.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...