Используя геометрическую интерпретацию, найти решение игры, определяемой матрицей (2хN) или (Mx2)
1.9
53222745
Рассмотрим игру двух лиц, интересы которых противоположны. Такие игры называют антагонистическими играми двух лиц. В этом случае выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, и можно описать только одного из игроков. Предполагается, что каждый игрок может выбрать только одно из конечного множества своих действий. Выбор действия называют выбором стратегии игрока. Если каждый из игроков выбрал свою стратегию, то эту пару стратегий называют ситуацией игры. Следует заметить, каждый игрок знает, какую стратегию выбрал его противник, т.е. имеет полную информацию о результате выбора противника. Чистой стратегией игрока I является выбор одной из n строк матрицы выигрышей А, а чистой стратегией игрока II является выбор одного из столбцов этой же матрицы.
1.Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях. Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 4, которая указывает на максимальную чистую стратегию A4. Верхняя цена игры b = min(bj) = 5. Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 4 ≤ y ≤ 5. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы. Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью. Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если aij ≥ akj для всех j Э N и хотя бы для одного j aij > akj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая. Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M aij ≤ ail и хотя бы для одного i aij < ail. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой. Стратегия A1 доминирует над стратегией A2 (все элементы строки 1 больше или равны значениям 2-ой строки), следовательно, исключаем 2-ую строку матрицы. Вероятность p2 = 0.
В платежной матрице отсутствуют доминирующие столбцы. Мы свели игру 4 x 2 к игре 3 x 2. Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш. Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.
3. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Запишем систему уравнений. Для игрока I 5p1+2p2+4p3 = y 3p1+7p2+5p3 = y p1+p2+p3 = 1 Для игрока II 5q1+3q2 = y 2q1+7q2 = y 4q1+5q2 = y q1+q2 = 1 Далее решение находится с помощью симплекс-метода. Также можно применить и графический метод.
Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы: 1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии B1, правый – стратегии B2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2). 2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии B1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии B2. Решение игры (m x 2) проводим с позиции игрока B, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет. Выделяем верхнюю границу выигрыша A1NA3. Максиминной оптимальной стратегии игрока B соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых A1A1 и A3A3, для которых можно записать следующую систему уравнений: y = 5 + (3 – 5)q2 y = 4 + (5 – 4)q2 Откуда q1 = 2/3 q2 = 1/3 Цена игры, y = 13/3 Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока A, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию A2, которая дает явно больший проигрыш игроку A, и, следовательно, p2 = 0. 5p1+4p3 = y 3p1+5p3 = y p1+p3 = 1 или 5p1+4p3 = 13/3 3p1+5p3 = 13/3 p1+p3 = 1 Решая эту систему, находим: p1 = 1/3. p3 = 2/3.
Решение:
Цена игры: y = 13/3, векторы стратегии игроков: P(1/3, 0, 2/3), Q(2/3, 1/3) 4. Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии. ∑aijqj ≤ v ∑aijpi ≥ v M(P1;Q) = (5*2/3) + (3*1/3) = 4.333 = v M(P2;Q) = (2*2/3) + (7*1/3) = 3.667 ≤ v M(P3;Q) = (4*2/3) + (5*1/3) = 4.333 = v M(P;Q1) = (5*1/3) + (2*0) + (4*2/3) = 4.333 = v M(P;Q2) = (3*1/3) + (7*0) + (5*2/3) = 4.333 = v Все неравенства выполняются как равенства или строгие неравенства, следовательно, решение игры найдено верно. Поскольку из исходной матрицы были удалены строки, то найденные векторы вероятности можно записать в виде: P(1/3,0,0,2/3) Q(2/3,1/3)
