Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=20. Требуется при заданном уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу H0: a=ai о равенстве генеральной средней a гипотетическому значению ai, i-номер варианта.
Xi
30,89 29,92 30,28 29,9 30,41 30,2 30,09 30,23 28,59 30,25
Xi
31,18 29,71 29,65 30,84 30,38 31,9 31,19 31,45 31,08 30,75
a3=29
Решение.
Найдем генеральное среднее значение:
x=1nxi=12030,86+29,92+30,28+29,9+30,41+30,2+30,09+30,23+28,59+30,25+31,18+29,71+29,65+30,84+30,38+31,9+31,19+31,45+31,08+30,75=
=608,8920≈30,44
Найдем дисперсию:
D=xi-x2n=10.561920≈0,53
Среднеквадратическое отклонение:
σ=D=0,53=0,73
Выдвинем гипотезу о равенстве генерального среднего числу a3=29:
H0: x=29
H1: x≠29
Найдём экспериментальное значение критерия Стьюдента:
tнабл=x-29nσ=30.44-29200.73=8.82
По таблице функции Лапласа находим критическую точку tкр двухсторонней критической области из равенства:
Фtkp=1-α2=1-0.052=0.475
tkp=1,96
Так как tнабл>tkp то отвергаем нулевую гипотезу.
Решение:
гипотеза о равенстве генерального среднего числу 29 отклонена.
(вариант 2) Задание 3.А) По корреляционной таблице построить график опытной линии регрессии;
Б) Найти выборочный коэффициент корреляции и проверить его значимость;
В) Определить линию регрессии;
Г) На основании опытной линии регрессии построить нелинейную модель и вычислить корень отношения.
x y
22-24 24-26 26-28 28-30 30-32 32-34
1 1 2
2 1 4 15 3 1
3 3 9 10 2
4 3 1 10 3
5 1 4 10 1
6 2 8 5
7 1
Решение.
Найдем групповые средние по формулам:
xj=i=17xinijnj
yi=j=16yjnijni
yi=23, 25, 27, 29, 31, 33
x y
22-24 24-26 26-28 28-30 30-32 32-34 n
1 1 2 3
2 1 4 15 3 1 24
3 3 9 10 2 24
4 3 1 10 3 17
5 1 4 10 1 16
6 2 8 5 15
7 1 1
n 7 17 38 29 6 3 100
x=11003+2∙24+3∙24+4∙17+5∙16+6∙15+7∙1=3.68
y=110023∙7+25∙17+27∙38+29∙29+31∙6+33∙3=27.38
Найдем дисперсию:
sx2=i=17xi2nijn-x2
sy2=j=16yj2nijn-y2
sx2=11003+4∙24+9∙24+16∙17+25∙16+36∙15+49∙1-3.682=
=2.22
sy2=1100529∙7+625∙17+729∙38+841∙29+961∙6+1089∙3-
-27.382=4.89
Находим среднеквадратическое отклонение:
σx=2.22=1.49
σy=4.89=2.2
Находим коэффициент ковариации:
cov x;y=xy-x∙y=1100(4∙23∙3+5∙23+6∙23∙2+7∙23+
+2∙25+3∙25∙3+4∙25+4∙5∙25+6∙25∙8+2∙27∙4+3∙27∙9+
+4∙27∙10+5∙27∙10+6∙27∙5+2∙29∙15+3∙39∙10+4∙29∙3+
+5∙29+31+2∙31∙3+3∙31∙2+33∙2+2∙33)-3.68∙27.38=
=-2.2
Найдем коэффициенты корреляции:
rxy=covx;yσxσy=-2.21.49∙2.2=-0.67
Уравнение линии регрессии имеет вид:
yx=rxyx-xσx+y
yx=-0.67∙x-3.681.49∙2.2+27.38
yx=-0.99x+31.03
Уравнение линии регрессии xy будет иметь вид:
xy=rxyy-yσy+x
xy=-0.67∙y-27.382.2∙1.49+3.89
xy=-0.45y+16.07
Определим значимость коэффициента корреляции при уровни значимости α=0.05.
tнабл=rxyn-21-rxy2=-0.67100-21-0.672=8.93
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы
k=100-m-1=98 находим tкрит:
tкритn-m-1;α2=98;0.025=1.984
Так как tнабл>tкрит , то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым.
