Известны – результаты независимых наблюдений над случайной величиной Х.
Сгруппировать эти данные в интервальную таблицу, подобрав длину интервала.
Построить гистограмму, полигон частот и эмпирическую функцию распределения.
Найти несмещённые оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х. Указать моду М0.
По критерию χ2 (Пирсона) проверить гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.
Найти интервальные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х с уровнем доверия γ=0,9.
Вариант Результаты независимых наблюдений
13 0,90; 0,79; 0,84; 0,86; 0,88; 0,90; 0,92; 0,89; 0,85; 0,91; 0,98; 0,91; 0,80; 0,87; 0,89; 0,88; 0,78; 0,84; 0,81; 0,85; 0,88; 0,94; 0,86; 0,80; 0,86; 0,91; 0,78; 0,86; 0,91; 0,95; 0,97; 0,88; 0,79; 0,82; 0,84; 0,90; 0,92; 0,87; 0,91; 0,90; 0,96; 0,98; 0,89; 0,87; 0,96; 0,85; 0,94; 0,83; 0,92; 0,81.
Решение:
1)
x_min=
0,78
x_max=
0,98
R= 0,2
Число интервалов
k=
6,64058041 7
h=
0,02857143 0,03
Номера интервалов Начало интервала Конец интервала Середина интервала Частота Относительная частота
1 0,78 0,81 0,795 8 0,16
2 0,81 0,84 0,825 5 0,1
3 0,84 0,87 0,855 10 0,2
4 0,87 0,9 0,885 11 0,22
5 0,9 0,93 0,915 8 0,16
6 0,93 0,96 0,945 5 0,1
7 0,96 0,99 0,975 3 0,06
Всего 50 1
2)
Эмпирическая функция распределения F*x:
F*x=nxn
Таким образом, имеем
x≤0,78⇒F*x=0.
0,78<x≤0,81⇒F*x=0,16;
0,81<x≤0,84⇒F*x=0,16+0,1=0,26;
0,84<x≤0,87⇒F*x=0,16+0,1+0,2=0,46;
0,87<x≤0,9⇒F*x=0,16+0,1+0,2+0,22=0,68;
0,9<x≤0,93⇒F*x=0,16+0,1+0,2+0,22+0,16=0,84;
0,93<x≤0,96⇒F*x=0,16+0,1+0,2+0,22+0,16+0,1=0,94;
0,96<x⇒F*x=0,16+0,1+0,2+0,22+0,16+0,1+0,06=1.
Таким образом, эмпирическая функция распределения имеет вид:
F*x=0, &x≤0,780,16, &0,78<x≤0,810,26, &0,81<x≤0,840,46, &0,84<x≤0,870,68, &0,87<x≤0,90,84, &0,9<x≤0,930,94, &0,93<x≤0,961, &x>0,96.
График функции F*x:
3)
x=nixin-несмещенная оценка математического ожидания;
Dв=nixi-xn;
S=Dиспр,
Dиспр=nn-1Dв-несмещенная оценка дисперсии ;
Mo=X0+h∙ni-ni-1ni-ni-1+ni-ni+1-мода.
4) Выдвинем гипотезу о том, что распределение генеральной совокупности подчиняется нормальному закону. Для расчета значения критерия Пирсона заполняем таблицу:
Интервалы
1 2 3 4 5 6 7 8
-∞;0,78
0,0360 2 0,04000 1,80130 0,19870 0,03948 0,02192
0,78;0,81
0,0734 6 0,12000 3,67032 2,32968 5,42742 1,47873
0,81;0,84
0,1451 5 0,10000 7,25467 -2,25467 5,08354 0,70073
0,84;0,87
0,2092 10 0,20000 10,45948 -0,45948 0,21112 0,02018
0,87;0,9
0,2200 11 0,22000 11,00082 -0,00082 0,00000 0,00000
0,9;0,93
0,1688 8 0,16000 8,44050 -0,44050 0,19404 0,02299
0,93;0,99
0,1330 8 0,16000 6,65229 1,34771 1,81632 0,27304
0,99;+∞
0,0144 0 0,00000 0,72063 -0,72063 0,51930 0,72063
Σ 1,0000 1,0000 3,23821
Вычисляя сумму чисел в последнем столбце получаем
χ2набл=3,23821.
По таблице квантилей распределения хи-квадрат найдем значение, с которым нужно сравнить полученное. В наших условиях число степеней свободы равно r=8−2−1=5.
Для заданного уровня значимости α=0,05 получаем χ20,95=11,1.
Поскольку
χ2набл<χ20,95,
то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.
5) Доверительный интервал для математического ожидания и среднего квадратического отклонения найдем по формулам
mX∈x-t1+γ2Sn-1;x+t1+γ2Sn-1;γ=0,9.
t1+γ2 находим из таблицы.
1-qS<σ<1+qS.
Проведя вычисления, получаем
t1+0,92=t0,9550=2,009⇒
mX∈0,875-2,009∙0,05349;0,875+2,009∙0,05349=0,86;0,89;
q0,9;50=0,21⇒
σX∈1-0,21∙0,053;1+0,21∙0,053=0,042;0,064⇒
DX=σX2∈1-0,21∙0,053;1+0,21∙0,053=0,0017;0,0041.
