Компания-оператор мобильной связи в результате анализа информации о длительности разговоров установила, что для одной из групп клиентов случайная величина Х – продолжительность разговора (в минутах) может быть представлена следующей функцией плотности распределения вероятностей
fx=0;-∞<x≤0kx;0<x≤55k(6+β-x)1+β;5<x≤(6+β)0;6+β<x=0;-∞<x≤0kx;0<x≤55k(7-x)2;5<x≤70;7<x
Задачи:
6.1. Найти значение параметра k.
6.2. Найти явный вид функции распределения F(x).
6.3. Построить графики функции плотности и функции распределения.
6.4. Найти числовые характеристики случайной величины Х: моду, медиану, математическое ожидание и дисперсию.
6.5. Найти вероятности следующих событий: (Х≤ 3), (Х≤ 5,5), (Х > 4), (Х > 5,2), (3,5 < Х ≤ 5,5), (5,1 < Х ≤ 5,3), (3,0 < Х ≤ 5,5).
Решение:
6.1. Параметр k найдем из условия нормировки:
-∞∞fxdx=1
В нашем случае:
05kxdx+575k(7-x)2dx=kx2205-5k7-x2457=252k+5k=352kk=235
Плотность распределения имеет вид:
fx=0;-∞<x≤0235x;0<x≤57-x7;5<x≤70;7<x
6.2. Функция распределения связана с плотностью соотношением:
Fx=-∞xf(t)dt
В нашем случае:
– для интервала (0;5):
0x235tdt=t2350x=x235
– для интервала (5;7):
5×7-t7dt+F5=-7-t2145x+57=-7-x214+27+57=1-7-x214
Функция распределения имеет вид:
Fx=0;-∞<x≤0x235;0<x≤51-7-x214;5<x≤71;7<x
6.3. График плотности распределения:
График функции распределения:
6.4. Найти числовые характеристики случайной величины Х: моду, медиану, математическое ожидание и дисперсию.
Моду (значение, при котором плотность распределения достигает максимума) определяем по графику плотности распределения:
Mo=5
Медиану (значение признака, которое делит ряд на две равные части: F(Me)=1/2) определяем, исходя из того, медиана принадлежит промежутку (0;5):
Me235=12Me=352≈4,183
Математическое ожидание:
Mx=-∞∞xf(x)dx
Имеем:
Mx=052x235dx+577-xx7dx=2×310505+x22-x32157=
=5021+492-493-252-12521=4
Дисперсия:
Dx=-∞∞x2f(x)dx-Mx2
Имеем:
Dx=052x335dx+577-xx27dx-42=x47005+x33-x42857-16=
=12514+3433-3434-1253-62528-16=136
6.4. Найти вероятности следующих событий: (Х≤ 3), (Х≤ 5,5), (Х > 4), (Х > 5,2), (3,5 < Х ≤ 5,5), (5,1 < Х ≤ 5,3), (3,0 < Х ≤ 5,5).
Вероятность попадания в интервал:
Px1<x<x2=x1x2f(x)dx=Fx2-F(x1)
Имеем:
Px≤3=F3=3235=935
Px≤5,5=F5,5=1-7-5,5214=4756
Px>4=1-F4=1-4235=1935
P3,5<x≤5,5=F5,5-F3,5=4756-3,5235=137280
P5,1<x≤5,3=F5,3-F5,1=1-7-5,3214-1-7-5,1214=9175
P3<x≤5,5=F5,5-F3=4756-935=163280
