Контрольная работа по матанализу
1. Пользуясь таблицей производных, найти производные следующих функций:
1) y=1-x3x-производная от частного, воспользуемся формулой:
uv’=u’v-uv’v2, где u=1-x3, v=x.
y’=1-x3’∙x-1-x3∙x’x2=-3×2∙x-1-x3∙12xx=
=-6×3-1+x32x∙x=-5×3-12x∙x;
2) y=x∙ctgx-tgxx-производная от разности двух функций, одна из
которых произведение x∙ctgx, вторая – частное двух функций tgxx. Для нахождения производной от произведения двух функций, воспользуемся формулой: uv’=u’v+uv’, где u=x, v=ctgx. Производная от разности функций равна разности производных. Таким образом имеем:
y’=x’∙ctgx+x∙ctgx’-tgx’x-tgx∙x’x2=
=ctgx-xsin2x-xcos2x-tgxx2=cosxsinx-xsin2x-xcos2x-sinxcosxx2=
=x2∙cos3x∙sinx-x3∙cos2x-x∙sin2x+sin3x∙cosxx2∙sin2x∙cos2x=
=x2∙cos2x∙sinx∙cosx-x+sin2x∙sinx∙cosx-xx2∙sin2x∙cos2x=
=x2∙cos2x+sin2x∙sinx∙cosx-xx2∙sin2x∙cos2x.
3) y=5×2-3×3-4e4x-5+2-производная от разности двух функций,
одна из которых сложная функция – 4e4x-5+2, внешняя – степенная, с показателем степени 14, внутренняя – e4x-5+2. Производную от сложной функции найдем по формуле: g’fx=gf’∙fx’.
y’=10x-9×2-14e4x-5+214-1∙e4x-5+2’=
=10x-9×2-e4x-5∙4x-5’44e4x-5+23=10x-9×2-e4x-54e4x-5+23.
4) y=xexcosx-sinx-производная произведения 3 функций.
y’=xex’cosx-sinx+xexcosx-sinx’=
=x’ex+xex’cosx-sinx+xex-sinx-cosx=
=ex+xexcosx-sinx-xexsinx+cosx.
5) y=arccosxx-arcsinx-производная частного.
y’=arccosx’∙x-arcsinx-arccosx∙x-arcsinx’x-arcsinx2=
=-x-arcsinx1-x2-arccosx∙1-11-x2x-arcsinx2=
=-x+arcsinx-arccosx∙1-x2-1x-arcsinx21-x2.
6) y=1ln2x=ln-2x-производная сложной функции, внешняя-степенная
с показателем степени -2, внутренняя – lnx.
y’=ln-2x’=-2ln-2-1x∙lnx’=-2xln3x.
7) y=xe1lnx-производная произведения двух функций, одна из которых
e1lnx-сложная, внешняя-показательная, внутренняя- 1lnx-сложная.
y’=x’e1lnx+xe1lnx’=e1lnx+xe1lnx∙1lnx’=e1lnx+xe1lnx∙-1ln2x∙lnx’
=e1lnx-e1lnxln2x=e1lnx1-1ln2x.
8) y=x3-2xx3+x+1-производная от частного.
y’=x3-2x’x3+x+1-x3-2x∙x3+x+1’x3+x+12=
=3×2-2×3+x+1-x3-2x∙3×2+1×3+x+12=
=3×5+3×3+3×2-2×3-2x-2-3×5-x3+6×3+2xx3+x+12=
=6×3+3×2-2×3+x+12.
9) y=ctgx2x-1-производная от частного.
y’=ctgx’x-1-ctgxx-1’2x-12=-x-1sin2x-ctgx2x-1∙x-1’2x-1=
=-x-12x-1sin2x-ctgx4x-1x-1=-12x-1sin2x-ctgx4x-13.
10) y=arccosxarcsinx-производная от частного.
y’=arccosx’arcsinx-arccosxarcsinx’arcsinx2=
=-arcsinxx-1-arccosxx-1arcsinx2=-arcsinx+arccosxx-1arcsinx2.
11) y=3ctgxex-1-производная от произведения.
y’=3ctgx’ex-1+3ctgxex-1’=-3ex-1sin2x+3ctgxex.
12) y=1ln3x=ln-13x- сложная функция,внешняя-степенная
с показателем степени -1, внутренняя – ln3x.
y’=-ln-23x∙ ln’3x∙3x’=-1xln23x.
13) y=y=arcsinxx-1x-1-производная от частного.
y’=arcsinx’x-1-arcsinxx-1’x-12=x-11-x2-arcsinx2x-1x-1’x-1=
=x-11-x2-arcsinx2x-1x-1=11-x2∙x-1-arcsinx2x-13.
14) y=lne-2x+xe-2x-производная сложной функции, внешняя
-логарифм, внутренняя -e-2x+xe-2x.
yэ=e-2x’+x’e-2x+xe-2x’e-2x+xe-2x=-2e-2x+e-2x-2xe-2xe-2x+xe-2x=
=-e-2×1+2xe-2×1+x=-1+2×1+x.
2. Исследовать функции и построить их графики. Найти все асимптоты.
1) y=x4-4×2;2) y=x3-x22
Решение:
) y=x4-4×2.
1. Область определения функции: x ∈(-∞,+∞).
2. Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва. Уравнение наклонных асимптот, если таковы существуют, имеет вид:
y =kx+ b
Вычислим параметры k и b: k=limx→∞fxx=limx→∞x4-4x2x=limx→∞x3-4x=∞.
Наклонных асимптот нет.
3. Проверим на четность: y-x=-x4-4-x2=x4-4×2=yx- функция четная, следовательно ее график симметричен относительно оси OY.
4. Точки пересечения с осями координат.
с осью 0x: y =x4-4×2=0, отсюда x1=0, x2,3=±2;
с осью 0y: x=0 ⇒ y = 0.
График проходит через начало координат.
5. Интервалы монотонности и точки локального экстремума.Найдем производную и приравняем ее к нулю:
y’ =4×3-8x=4xx2-2=0 ⇒x=0, x = ±2.
Точки x = 0, x = ±2 и являются точками, подозрительными на экстремум.
Найдем знаки производной на промежутках:
Промежутки возрастания: (-2,0) ∪ (3,+∞),
Промежутки убывания: (-∞,-2) ∪ (0,2).
x =±2≈-1,4- точки минимума,
ymin=y±2=±24-4±22=-4,
x = 0- точка максимума, ymax=y0=0.
6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Вычислим вторую производную
y”=4×3-8x’=12×2-8=43×2-2=0⇒x=±23≈±0,8.
x =± 0,8- точки перегиба, так как при переходе через них вторая производная меняет знак:
Промежуток выпуклости: (-0,8;0,8),
Промежутки вогнутости: (-∞,-0,8) ∪ (0,8;+).
7. Сведем результаты проведенного исследования в таблицу:
x
0 (0;0,8)
0,8 (0,8,2)
2
(2,+∞)
y’
0 –
–
–
0 +
y”
–
–
0 +
+
+
y
ymax
679456413500 точка перегиба 1714506413400 ymin=-4
1403356413400
8. Построение графика.
2) y=x3-x22.
1. Область определения функции: x ∈(-∞,+∞).
2. Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва. Уравнение наклонных асимптот, если таковы существуют, имеет вид:
y =kx+ b
Вычислим параметры k и b: k=limx→∞fxx=limx→∞x3-x22x=limx→∞x-12=∞.
Наклонных асимптот нет.
3. Проверим на четность: y-x=-x3–x22=-x3-x22=x3+x22≠yx-yx- функция ни четная, ни нечетная.
4. Точки пересечения с осями координат.
с осью 0x: y =x3+x22=0, отсюда x1=0, x2=-1;
с осью 0y: x=0 ⇒ y = 0.
График проходит через начало координат.
5. Интервалы монотонности и точки локального экстремума.Найдем производную и приравняем ее к нулю:
y’ =2×3-x2∙x3+x2’=2×3-x2∙3×3-2x=
=2x2x-1∙x3x2-2=0 ⇒x=0, x = 1, x≈0,8.
Точки x = 0, x = 1, x≈0,8 и являются точками, подозрительными на экстремум.
Найдем знаки производной на промежутках:
Промежутки возрастания: (0;0,8) ∪ (1;+∞),
Промежутки убывания: (-∞,0) ∪ (0,8;1).
x =0,x =1- точки минимума,
ymin=y0=0 ymin=y1=0,
x = 0,8- точка максимума, ymax=y0,8≈0,02.
6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Вычислим вторую производную:
y”=2×3-x2∙3×3-2x’=23×2-2x∙3×3-2x+
+2×3-x2∙9×2-2=29×5-6×3-6×4+4×2+9×5-2×3-9×4+2×2
=218×5-15×4-8×3+6×2=2x218x3-15×2-8x+6=0⇒x=0
x=-0,648;x=0,824;x=0,557- точки перегиба, так как при переходе через них вторая производная меняет знак.
7239012211057. Сведем результаты проведенного исследования в таблицу:
x
-∞;0
0 (0;0,8)
0,8 (0,8;1)
1
(1,+∞)
y’
–
0 +
0
–
0 +
y
1035054127500 ymin=0
15176510668000 ymax=0,02
1714506413400 ymin=0
1403356413400
3) Вычислить:
1) etdtet+1=Занесем et+1 под знак дифференциала=
=et+1-12det+1=2et+1+C, C-const.
2) 3-sinx3x+cosxdx=3x+cosx’=3-sinx=d3x+cosx3x+cosx=
=ln3x+cosx+C, C-const.
3) x23x3dx=Занесем x2 под знак дифференциала=133x3dx3=
=3x33ln3+C, C-const.
4) x2dxx6+3=Занесем x2 под знак дифференциала=13dx3x6+3=
=Замена: x3=t =13dtt2+3=13lnt+t2+3+C=
=13lnx3+x6+3+C, C-const.
5) 3-2x2x2+3dx=1232×2+32d2x-12d2x2+32×2+3=
=16arctg2x3-12ln2x2+3+C, C-const.
6)xdx1-2×2-x4=Занесем x под знак дифференциалаи выделим полный квадрат в знаменателе=
=12dx22-x4+2×2+1=Замена: x2=t =12dt2-t+12=
=12dt+122-t+12=12arcsint+12+C=12arcsinx2+12+C,
C-const.
7) dxx+2×2+4x=Замена: 1x+2=t⇒x=1t-2;dx=-dtt2=
=-tdtt21t-22+41t-2=-dtt1t2-4t+4+4t-8=
=-dtt1-4t2t2=-dt1-2t2=-12arcsin2t+C=
=-12arcsin2x+2+C,C-const.
8) 5×2+6x+9x-32x+12dx
Используем метод разложения на простейшие. Разложим функцию на простейшие слагаемые:
5×2+6x+9x-32x+12=Ax-3+Bx-32+Cx+1+Dx+12=
=Ax-3x+12+Bx+12+Cx+1x-32+Dx-32x-32x+12==Ax-3×2+2x+1+Bx2+2x+1+Cx+1×2-6x+9+Dx2-6x+9x-32x+12=
=Ax3-x2-5x-3+Bx2+2x+1+Cx3-5×2+3x+9+Dx2-6x+9x-32x+12=
=x3A+C+x2-A+B-5C+D+x-5A+2B+3C-6D+-3A+B+9C+9Dx-32x+12
Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях x, стоящие слева и справа должны совпадать:
x3
A+C=0
x2
-A+B-5C+D=5
x
-5A+2B+3C-6D=6
x0
-3A+B+9C+9D=9
Решая систему, находим:
A = 0;B =92;C = 0;D =12.
5×2+6x+9x-32x+12=92x-32+12x+12.
5×2+6x+9x-32x+12dx=92dxx-32+12dxx+12=-92x-3-12x+1+
+C,C-const.
9) xdxx2+2=Занесем x под знак дифференциала=12dx2x2+2=
=12dx2+2×2+2=x2+2+C,C-const.
10) x2dxsinx3=Занесем x2 под знак дифференциала=13dx3sinx3=
=домножим числитель и знаменатель дроби на sinx3=
=13sinx3dx3sinx3sinx3=Занесем sinx3 под знак дифференциала=
=-13dcosx3sin2x3=13dcosx31-cos2x3=16ln1+cosx31-cosx3+C,C-const.
11) 2ctgxdxsin2x=Занесем 1sin2x под знак дифференциала=
=-2ctgxdctgx=-2ctgxln2+C,C-const.
12) cosec2xctg2x-3dx=1sin2xctg2x-3dx=
=Занесем 1sin2x под знак дифференциала=-dctgxctg2x-3=
=-lnctgx+ctg2x-3+C,C-const.
13) 2×1+22xdx=Занесем 2x под знак дифференциала=1ln2d2x1+22x=
=Замена: 2x=t⇒dt=2xln2=1ln2dt1+t2=1ln2arctgt+C=
=1ln2arctg2x+C,C-const.
14) x+12x-x2dx=-122-2x2x-x2dx+21-x2-2x+1dx=
=-12d2x-x22x-x2dx+21-x-12dx=-2x-x2+
+2arcsinx-1+C,C-const.
15) dxx1+3x=x-13x+1-12dx=
=Интеграл вида:xmaxn+bpdx, где m=-1; n=1; p=-12m+1n=-1+11=0-целое, подстановка: axn+b=t23x+1=t2⇒x=t2-13;dx=2tdt3=
=3t2-1∙2tdt3t=2dtt2-1=-22ln1+t1-t+C=-ln1+1+3×1-1+3x+C,
C-const.
16) 3x+5×2+2x+22dx=322x+2×2+2x+22dx+2dxx2+2x+22=
=32dx2+2x+2×2+2x+22+2dxx2+2x+1+12=-32×2+2x+2+
+2dxx+12+12=-32×2+2x+2+12x+1×2+2x+2+arctgt+C.
dxx+12+12=dx+1x+12+12=x+1=t=dtt2+12=
=12tt2+1+arctgt+C=12x+1x+12+1+arctgt+C.
