– корреляция
Двумерная случайная величина. В клетках указано число раз, когда выпала пара (Х,У).
У Х
4 3
2 6 4
1 5 3
Найти безусловные законы распределения, оценку матожидания Х и У (т.е. средние), оценку их дисперсий (исправленных) и СКО.
Построить условные законы распределения (их 4 шт.), найти оценки условных матожиданий.
Найти коэффициент корреляции (написать выводы, которые следуют из величины корреляции) , построить наилучшие уравнения регрессии Х на У и У на Х (т.е. линейные зависимости У от Х и Х от У).
Решение:
1. Общее количество испытаний найдем в таблице (суммируем все значения выпаданий пар в клетках):
n=6+4+5+3=18
Составим корреляционную таблицу вероятностей выпадения пар.
У Х
4 3
2 6/18= 1/3 4/18 = 2/9
1 5/18 3/18 = 1/6
2. Найдем безусловный закон распределения случайной величины X (суммируем значения вероятностей по столбцам):
PX=4=P4;2+P4;1=618+518=1118;
PX=3=P3;2+P3;1=418+318=718.
X 4 3
P(X) 11/18 7/18
Найдем математическое ожидание случайной величины X:
X=MX=Xi∙P(Xi)=4∙1118+3∙718=44+2118=6518≈3,611
Найдем математическое ожидание случайной величины X2:
MX2=Xi2∙P(Xi)=42∙1118+32∙718=176+6318=23918
Найдем дисперсию случайной величины X:
DX=MX2-M2X=23918-65182=4302-4225324=77324≈0,238
Найдем исправленную дисперсию X:
s2X=nn-1∙DX=1817∙77324=13865508=77306≈0,252
Найдем СКО (среднее квадратическое отклонение) X:
σX=DX≈0,238≈0,487
Найдем исправленное СКО X:
sX=s2X≈0,252≈0,502
Найдем безусловный закон распределения случайной величины Y (суммируем значения вероятностей по строкам):
PY=2=P4;2+P3;2=618+418=1018=59;
PY=1=P4;1+P3;1=518+318=818=49.
Y 2 1
P(Y) 5/9 4/9
Найдем математическое ожидание случайной величины Y:
Y=MY=Yi∙P(Yi)=2∙59+1∙49=10+49=149≈1,556
Найдем математическое ожидание случайной величины Y2:
MY2=Yi2∙P(XYi)=22∙59+12∙49=20+49=249
Найдем дисперсию случайной величины Y:
DY=MY2-M2Y=249-1492=216-19681=2081≈0,247
Найдем исправленную дисперсию X:
s2Y=nn-1∙DY=1817∙2081=3601377≈0,261
Найдем СКО (среднее квадратическое отклонение) X:
σY=DY≈0,247≈0,497
Найдем исправленное СКО X:
sX=s2X≈0,261≈0,511
3. Построим условные законы распределения (их 4 шт.).
Условный закон распределения X для Y=2
X 4 3
P(X|Y=2) PX=4;Y=2PY=2=1/35/9=35
PX=3;Y=2PY=2=2/95/9=25
Математическое ожидание X для Y=2:
MXY=2=Xi∙P(Xi|Y=2)=4∙35+3∙25=12+65=185=3,6
Условный закон распределения X для Y=1
X 4 3
P(X|Y=1) PX=4;Y=1PY=1=5/184/9=58
PX=3;Y=1PY=1=1/64/9=38
Математическое ожидание X для Y=1:
MXY=1=Xi∙P(Xi|Y=1)=4∙58+3∙38=20+98=298=3,625
Условный закон распределения Y для X=4
Y 2 1
P(Y|X=4) PX=4;Y=2PX=4=1/311/18=611
PX=4;Y=1PX=4=5/1811/18=511
Математическое ожидание Y для X=4:
MYX=4=Yi∙P(Yi|X=4)=2∙611+1∙511=12+511=1711
Условный закон распределения Y для X=3
Y 2 1
P(Y|X=3) PX=3;Y=2PX=3=2/97/18=47
PX=3;Y=1PX=3=1/67/18=37
Математическое ожидание Y для X=3:
MYX=3=Yi∙P(Yi|X=3)=2∙47+1∙37=8+37=117
4. Найдем математическое ожидание величины XY:
MXY=XiYj∙PXiYj=
=4∙2∙P4;2+4∙1∙P4;1+3∙2∙P3;2+3∙1∙P3;1=
=8∙618+4∙518+6∙418+3∙318=48+20+24+918=10118≈5,611
Найдем ковариацию:
covX;Y=MXY-MX∙MY=10118-6518∙149=-1162≈-0,00617
Найдем коэффициент корреляции:
rXY=covX;YσX∙σY=-0,006170,487∙0,497≈-0,02548
Отрицательное значение данного коэффициента говорит об обратной связи между X и Y. Значение коэффициента корреляции близко к нулю, связь очень слабая (это определяется по шкале Чеддока, где при значении от 0 до 0,3 связь считается очень слабой).
5. Построим линейную зависимость Y от X по формуле:
YX=rXY∙x-Xσ(X)∙σ(Y)+Y
В нашем случае получаем:
YX=(-0,02548)∙x-3,6110,487∙0,497+1,556
YX≈-0,026∙x+1,65
Построим линейную зависимость X от Y по формуле:
XY=rXY∙y-Yσ(Y)∙σ(X)+X
В нашем случае получаем:
XY=(-0,02548)∙y-1,5560,497∙0,487+3,611
XY≈-0,025∙y+3,65
