Локализовать корень нелинейного уравнения fx=0 и найти его методом бисекции с точностью ε1=0,01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε2=0,0001. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности ε2 число итераций.

Локализовать корень нелинейного уравнения fx=0 и найти его методом бисекции с точностью ε1=0,01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε2=0,0001. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности ε2 число итераций.
fx=ex-3-x+3
Решение
Отделим корни уравнения графически. Приведем уравнение к виду
ex=3-x-3, построим функции y=ex и y=3-x-3

Отрезок локализации [-1,5;-0,5].
Функция y=ex-3-x+3 непрерывна на этом отрезке и принимает на его концах значения разных знаков:
y-1,5=-1,973,
y-0,5=1,874.

Первая итерация:
Найдем середину x1=-1 отрезка [-1,5;-0,5] и вычислим значение функции y=ex-3-x+3 в этой точке: y-1=0,367879.
∆-1=-0.5+1.52=0,5.
y-1,5=-1,973<0,
y-0,5=1,874>0.
a1,b1=[-1,5;-1].
Остальные итерации представлены в таблице:
№ a b x F(a) F(b) F(x) ∆
0 -1,5 -0,5 -1 -1,97302 1,87448 0,367879 0,5
1 -1,5 -1 -1,25 -1,97302 0,367879 -0,66172 0,25
2 -1,25 -1 -1,125 -0,66172 0,367879 -0,11696 0,125
3 -1,125 -1 -1,0625 -0,11696 0,367879 0,132364 0,0625
4 -1,125 -1,0625 -1,09375 -0,11696 0,132364 0,009501 0,03125
5 -1,125 -1,09375 -1,10938 -0,11696 0,009501 -0,05327 0,015625
6 -1,10938 -1,09375 -1,10156 -0,05327 0,009501 -0,02177 0,007813
Требуемая точность достигнута:
x=-1,10±0,01.
Уточним корень методом простой итерации:
Приведем уравнение к итерационному виду:
x=ln⁡(3-x-3), или x=-log3ex+3
Условие сходимости итерационного процесса φi'(x)≤q<1 выполняется для уравнения: x=-log3ex+3,
φ’x=-log3ex+3
q=max[a;b]φi'(x)=0,153:

Читайте также:  Привести к каноническому виду уравнение uxx+2uxy+1-sign yuyy=0, y<0.

Итерационная формула:
xk+1=-log3exk+3
Первая итерация:
x0=-1,10
x1=-1,09578
Оценим число итераций, необходимое для достижения заданной точности:
Критерий окончания итераций:
x(k)-x(k-1)<ε1
ε1=1-qqε
значит
x(k)-x(k-1)<1-qqε
x(k)-x(k-1)q1-q<ε
x-x(k)≤qk1-qx(1)-x(0)≤ε
Выразим количество итераций:
qk≤(1-q)εx(1)-x(0)
Так как lnq<0
k≥ln(1-q)εx(1)-x(0)lnq=3
Критерий окончания итераций:
x(k)-x(k-1)<ε1
ε1=1-qqε=1-0,1530,1530,0001=0,000554
Итерации представлены в таблице:
k x(k)
x(k)-x(k-1)
0 -1,1
1 -1,09578 0,004223
2 -1,09616 0,000385
Указанная точность достигнута на 2 итерации (согласно априорной оценке требуется 3 итерации).
Ответ: x=-1,0962±0,0001

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...