m=5;n=1
Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязи определяет матрица А коэффициентов прямых затрат:
A=0,20,50,100,30,10,40,10,2
в которой число ai,j, стоящее на пересечении i-ой строки и j-ого столбца равно xijXj, где xij- поток средств производства из i-ой отрасли в j-ую, а Xj- валовой объем продукции j-ой отрасли (все объемы продукции выражаются в единицах стоимости).
Задан также вектор объемов конечной продукции:
Y=y1y2y3=1000600900
1 Составить уравнение межотраслевого баланса.
2 Решить систему уравнений межотраслевого баланса, то есть найти объемы валовой продукции каждой отрасли X1, X2, X3, обеспечивающие потребности всех отраслей и изготовление конечной продукции Y. (Расчеты рекомендуется производить с точность до двух знаков после запятой).
3 Составить матрицу X потоков средств производства xij.
4 Определить общие доходы каждой отрасли Pi=Xi-i=13xij.
5 Результаты расчетов оформить в виде таблицы межотраслевого баланса:
Отрасли Потребление Конечный продукт Валовой выпуск
I
II
III
Производство I
x11
x12
x13
y1
X1
II
x21
x22
x23
y2
X2
III
x31
x32
x33
y3
X3
Общий доход P1
P2
P3
Валовый продукт X1
X2
X3
6 Найти матрицу коэффициентов полных затрат по формуле An=(E-A)-1, где E-единичная матрица размера 3×3.
Решение:
Составим уравнение межотраслевого баланса. Для этого введем вектор валового продукта:
X=x1x2x3
где x1,x2,x3, – объем валовой продукции I, II и III отраслей соответственно.
Уравнение межотраслевого баланса в матричной форме имеет вид:
X=AX+Y
Записав его с учетом исходных условий задачи, в виде системы алгебраических уравнений получим:
x1=0,2×1+0,5×2+0,1×3+1000×2=0,3×2+0,1×3+600×3=0,4×1+0,1×2+0,2×3+900
Записываем в общем виде:
0,8×1-0,5×2-0,1×3=10000,7×2-0,1×3=600-0,4×1-0,1×2+0,8×3=900
И решаем методом Гаусса с точностью до двух знаков после запятой:
– III=III+0,5I:
0,8×1-0,5×2-0,1×3=10000,7×2-0,1×3=600-0,35×2+0,75×3=1400
– III=II+0,5II:
0,8×1-0,5×2-0,1×3=10000,7×2-0,1×3=6000,7×3=1700
Из последнего уравнения:
x3≈2428,57
Подставляем во второе:
0,7×2-0,1*2428,57=600
x2≈1204,08
И из первого уравнения:
0,8×1-0,5*1204,08-0,1*2428,57=1000
x1≈2306,12
Составим матрицу потоков средств производства:
x11=0,2*2306,12≈461,22
x12=0,5*1204,08≈602,04
x13=0,1*2428,57≈242,86
x21=0*2306,12=0
x22=0,3*1204,08≈361,22
x23=0,1*2428,57≈242,86
x31=0,4*2306,12≈922,45
x32=0,1*1204,08≈120,41
x33=0,2*2428,57≈485,71
Получили:
X=461,22602,04242,860361,22242,86922,45120,41485,71
Вычисляем общие доходы каждой потребляющей отрасли:
P1=2306,12-461,22+922,45=922,45
P2=1204,08-602,04+361,22+120,41=120,41
P3=2428,57-242,86+242,86+485,71=1457,14
Заполняем таблицу межотраслевого баланса:
Отрасли Потребление Конечный продукт Валовой выпуск
I
II
III
Производство I
461,22 602,04 242,86 1000 2306,12
II
0 361,22 242,86 600 1204,08
III
922,45 120,41 485,71 900 2428,57
Общий доход 922,45 120,41 1457,14
Валовый продукт 2306,12 1204,08 2428,57
Найти матрицу коэффициентов полных затрат по формуле An=(E-A)-1.
Находим матрицу:
E-A=100010001-0,20,50,100,30,10,40,10,2=0,8-0,5-0,100,7-0,1-0,4-0,10,8
Определитель матрицы:
E-A=0,8-0,5-0,100,7-0,1-0,4-0,10,8=0,392
Вычисляем алгебраические дополнения:
a11=-11+1*0,7-0,1-0,10,8=0,55
a12=(-1)1+2*0-0,1-0,40,8=0,04
a13=(-1)1+3*00,7-0,4-0,1=0,28
a21=-12+1*-0,5-0,1-0,10,8=0,41
a22=(-1)2+2*0,8-0,1-0,40,8=0,60
a23=(-1)2+3*0,8-0,5-0,4-0,1=0,28
a31=-13+1*-0,5-0,10,7-0,1=0,12
a32=(-1)3+2*0,8-0,10-0,1=0,08
a33=(-1)3+3*0,8-0,500,7=0,56
Тогда матрица коэффициентов полных затрат:
An=(E-A)-1=10,392*0,550,410,120,040,600,080,280,280,56≈1,41,050,310,101,530,200,710,711,43
