Матем проекты
По данным варианта требуется:
построить сетевую модель;
определить критические пути модели;
провести максимально возможное уменьшение сроков выполнения проекта при минимально возможных дополнительных затратах;

Назв. работы Норм. Норм. Сокр. Повыш.

длительность стоимость длительность стоимость

А
7 9 2 14
В
6 16 1 18
С
8 4 3 8
D
9 11 4 12
Е
10 14 4 18
F
11 9 6 11
G
5 13 1 19
H
9 8 2 9
I
12 15 5 17
J
6 12 2 15

N = 13 человек Со = 149,00 руб. Ск = 1,30

руб,/день

Упорядочение работ
G – исходная работа проекта;
Работы A,I и D следует за G и могут выполняться одновременно;
Работы С и J следует за А, работа F – за I, а работа В – за D;
Работа Е следует за С;
Работа Н следует за В, но не может начаться, пока не завершена F.
Где Ск – косвенные затраты; Со – ограничение по средствам.

Решение:

Присвоим каждому событию номер и опишем сетевую модель с использованием кодов работы
номера событий работа продолжительность работы
начального конечного код название
1 2 1,2 G 5
2 3 2,3 A 7
2 4 2,4 I 12
2 5 2,5 D 9
3 6 3,6 C 8
3 8 3,8 J 6
4 7 4,7 F 11
5 7 5,7 B 6
6 8 6,8 E 10
7 8 7,8 H 9
Рассчитаем временные параметры работ
t — длительность работы
Tрн — ранний срок начала работы
Tро — ранний срок окончания работы
Tпн — поздний срок начала работы
Tпо — поздний срок окончания работы
Rп — полный резерв работы
Rс — свободный резерв работы
i,j
t(i,j)
Tрн(i,j)
Tро(i,j)
Tпн(i,j)
Tпо(i,j)
Rп(i,j)
Rс(i,j)
1,2 5 0 5 0 5 0 0
2,3 7 5 12 12 19 7 0
2,4 12 5 17 5 17 0 0
2,5 9 5 14 13 22 8 0
3,6 8 12 20 19 27 7 0
3,8 6 12 18 31 37 19 19
4,7 11 17 28 17 28 0 0
5,7 6 14 20 22 28 8 8
6,8 10 20 30 27 37 7 7
7,8 9 28 37 28 37 0 0
Численные значения временных параметров событий сети вписаны в соответствующие секторы вершин сетевого графика, который показан на рис. 1. Критический путь Lкр=1,2,4,7,8 показан утолщенными стрелками.

Рис. 1.
Проведем оптимизацию сетевой модели по критерию «время — затраты».
Исходя из нормальных длительностей работ получаем следующие характеристики сетевой модели
прямые затраты на проект Cпр0=111
длительность проекта Tкр0=37
косвенные затраты Cк0=37⋅1,3=48,1
общие затраты Cо0=Cпр0+Cк0=159,1
критический путь Lкр0=1,2,4,7,8 или Lкр0=(1,2);(2,4);(4,7);(7,8)
подкритический путь Lп0=1,2,3,6,8 или Lп=(1,2);(2,3);(3,6);(6,8)
продолжительность подкритического пути Tп0=30
Вычислим максимальные запасы времени сокращения работ сетевой модели zmax(i,j) и коэффициенты нарастания затрат k(i,j)
i,j
zmax(i,j)
k(i,j)
1,2 4 1,5
2,3 5 1
2,4 7 2/7
2,5 5 0,2
3,6 5 0,8
3,8 4 0,75
4,7 5 0,4
5,7 5 0,4
6,8 6 2/3
7,8 7 1/7
Шаг 1. Для сокращения выбираем критическую работу (7, 8) с минимальным коэффициентом k(7,8)=1/7. Текущий запас сокращения времени работы на данном шаге zт0(7,8)=7. Разность между продолжительностью критического и подкритического путей ΔT0=Tкр0-Tп0=7. Сокращаем работу (7, 8) на Δt1=min(7,7)=7. Новая текущая длительность работы t1(7,8)=2, запас ее дальнейшего сокращения zт1(7,8)=0. Измененный сетевой график представлен на рис. 2
Возникли следующие изменения
прямые затраты на проект возросли на 7⋅1/7=1 и составили Cпр1=111+1=112
длительность проекта Tкр1=37-7=30
косвенные затраты Cк1=30⋅1,3=39
общие затраты Cо1=Cпр1+Cк1=151
критические пути Lкр1=1,2,4,7,8 и Lкр1=1,2,3,6,8
подкритический путь Lп1=1,2,5,7,8
продолжительность подкритического пути Tп1=22

Рис. 2
Шаг 2. Одновременное сокращение двух критических путей можно провести либо ускорив работу (1, 2), принадлежащую обоим путям, либо одновременно ускорив различные работы из каждого пути. Наиболее дешевым вариантом является ускорение работ (6, 8) и (2, 4) 2/3+2/7≈0,952 за обе работы, тогда как ускорение работы (1, 2) обошлось бы в 1,5. Поскольку ΔT1=Tкр1-Tп1=30-22=8, то сокращаем работы (6, 8) и (2, 4) на Δt2=min(6,7,8)=6. Запасы дальнейшего сокращения времени работ сокращаются до zт2(6,8)=0 и zт2(2,4)=1. Измененный сетевой график представлен на рис. 3.
Возникли следующие изменения
прямые затраты на проект возросли на 6⋅(2/3+2/7)=5,71 и составили Cпр2=112+5,71=117,71
длительность проекта Tкр2=30-6=24
косвенные затраты Cк2=24⋅1,3=31,2
общие затраты Cо2=Cпр2+Cк2=148,91
критические пути Lкр2=1,2,4,7,8 и Lкр2=1,2,3,6,8
подкритический путь Lп2=1,2,5,7,8
продолжительность подкритического пути Tп2=22

Рис. 3
Шаг 3. Наиболее дешевым вариантом является ускорение работ (3, 6) и (2, 4) 0,8+2/7≈1,086 за обе работы. Поскольку ΔT2=Tкр2-Tп2=24-22=2, то сокращаем работы (3, 6) и (2, 4) на Δt3=min(5,1,2)=1. Запасы дальнейшего сокращения времени работ сокращаются до zт3(3,6)=4 и zт2(2,4)=0. Измененный сетевой график представлен на рис. 4.
Возникли следующие изменения
прямые затраты на проект возросли на 1⋅(0,8+2/7)=1,09 и составили Cпр3=117,71+1,09=118,8
длительность проекта Tкр3=24-1=23
косвенные затраты Cк3=23⋅1,3=29,9
общие затраты Cо3=Cпр3+Cк3=148,7
критические пути Lкр3=1,2,4,7,8 и Lкр3=1,2,3,6,8
подкритический путь Lп3=1,2,5,7,8
продолжительность подкритического пути Tп3=22

Рис. 4.
Шаг 4. Наиболее дешевым вариантом является ускорение работ (3, 6) и (4, 7) 0,8+0,4=1,2 за обе работы. Поскольку ΔT3=Tкр3-Tп3=23-22=1, то сокращаем работы (3, 6) и (4, 7) на Δt4=min(4,5,1)=1. Запасы дальнейшего сокращения времени работ сокращаются до zт4(3,6)=3 и zт4(4,7)=4. Измененный сетевой график представлен на рис. 5.
Возникли следующие изменения
прямые затраты на проект возросли на 1⋅(0,8+0,4)=1,2 и составили Cпр4=118,8+1,2=120
длительность проекта Tкр4=23-1=22
косвенные затраты Cк4=22⋅1,3=28,6
общие затраты Cо4=Cпр4+Cк4=148,6
критические пути Lкр4=1,2,4,7,8, Lкр4=1,2,3,6,8 и Lкр4=1,2,5,7,8
подкритический путь Lп4=1,2,3,8
продолжительность подкритического пути Tп4=18

Рис. 5.
Шаг 5. Наиболее дешевым вариантом является ускорение работ (3, 6), (4, 7) и (2, 5) 0,8+0,4+0,2=1,4 за три работы. Поскольку ΔT4=Tкр4-Tп4=22-18=4, то сокращаем работы (3, 6), (4, 7) и (2, 5) на Δt5=min(3,4,5,4)=3. Запасы дальнейшего сокращения времени работ сокращаются до zт5(3,6)=0, zт5(4,7)=1 и zт5(2,5)=2. Измененный сетевой график представлен на рис. 6.
Возникли следующие изменения
прямые затраты на проект возросли на 3⋅(0,8+0,4+0,2)=4,2 и составили Cпр5=120+4,2=124,2
длительность проекта Tкр5=22-3=19
косвенные затраты Cк5=19⋅1,3=27,7
общие затраты Cо5=Cпр5+Cк5=148,9
критические пути Lкр5=1,2,4,7,8, Lкр5=1,2,3,6,8 и Lкр5=1,2,5,7,8
подкритический путь Lп5=1,2,3,8
продолжительность подкритического пути Tп5=18

Рис. 6
Шаг 6. Наиболее дешевым вариантом является ускорение работы (1, 2). Поскольку работа (1, 2) входит в подкритический путь, то сокращаем работу (1, 2) на Δt6=4. Запасы дальнейшего сокращения времени работы сокращаются до zт6(1,2)=0. Измененный сетевой график представлен на рис. 7.
Возникли следующие изменения
прямые затраты на проект возросли на 4⋅1,5=6 и составили Cпр6=124,2+6=130,2
длительность проекта Tкр6=19-4=15
косвенные затраты Cк6=15⋅1,3=19,5
общие затраты Cо6=Cпр6+Cк6=149,7
критические пути Lкр6=1,2,4,7,8, Lкр6=1,2,3,6,8 и Lкр6=1,2,5,7,8
подкритический путь Lп6=1,2,3,8
продолжительность подкритического пути Tп6=14

Рис. 7.
Шаг 7. Наиболее дешевым вариантом является ускорение работ (2, 3), (4, 7) и (2, 5) 1+0,4+0,2=1,6 за три работы. Поскольку ΔT6=Tкр6-Tп6=15-14=1, то сокращаем работы (2, 3), (4, 7) и (2, 5) на Δt7=min(5,1,2,1)=1. Запасы дальнейшего сокращения времени работ сокращаются до zт7(2,3)=4, zт7(4,7)=0 и zт7(2,5)=1. Измененный сетевой график представлен на рис. 8.
Возникли следующие изменения
прямые затраты на проект возросли на 1⋅(1+0,4+0,2)=1,6 и составили Cпр7=130,2+1,6=131,8
длительность проекта Tкр7=15-1=14
косвенные затраты Cк7=14⋅1,3=18,2
общие затраты Cо7=Cпр7+Cк7=150
критические пути Lкр7=1,2,4,7,8, Lкр7=1,2,3,6,8, Lкр7=1,2,5,7,8, Lп7=1,2,3,8
подкритические пути отсутствуют

Рис. 8
Дальнейшая оптимизация стала невозможной, поскольку все работы критического пути Lкр=1,2,4,7,8 исчерпали свой запас времени ускорения, а значит проект не может быть выполнен меньше, чем за 14 дней.
Оптимальный срок выполнения работ после 4 шага оптимизации составляет 22 дня, общие затраты при этом минимальны и равны 148,6.

4.66
user133152
Высшее образование в сфере экономики, опыт репетиторства по математическим дисциплинам. Ответственность в любой работе.