Математические методы и модели

10

Контрольная работа

По дисциплине «Математические методы и модели»

1. Математическое моделирование задач коммерческой деятельности

Провести моделирование процесса выбора товара на основе следующих данных. Рассмотрим задачу выбора автомобиля. Составим таблицу множества показателей, по которым можно провести сравнение автомашин.

Таблица 1

Модель

автомобиля

Снаряженная масса, кг

Длина,

мм

Мощность двигателя, л.с.

Максимальная скорость, км/ч

Рабочий объем двигателя,см3

Расход топлива по смешанному циклу,л/100 км

Емкость топливного бака, л.

Цена, $.

HYUNDAI

Accent

1 080

4 260

102

181

1 495

7,5

45

12 920

HYUNDAI

Getz

1 108

3 825

106

180

1 599

6,0

45

15 990

HYUNDAI

Elantra

1 340

4 520

105

182

1 599

7,4

55

18 690

HYUNDAI

Sonata

1 590

4 747

133

200

1 997

9,0

65

26 650

HYUNDAI

Matrix

1 223

4 025

103

170

1 599

8,0

55

19 190

HYUNDAI

Trajet

1 731

4 695

140

179

1 975

9,1

65

25 690

Теперь необходимо сформулировать множество показателей, по которым можно провести сравнение автомобилей. Выпишем из руководства по эксплуатации автомобилей наиболее существенные показатели ( табл. 2)

Таблица 2

Показатели

Обозначение

Ед.измерения

Снаряженная масса

М

кг

Длина

Дл

мм

Мощность двигателя

МД

л.с

Максимальная скорость

Vmax

км/ч

Раб.объем двигателя

Ро

см3

Расход топлива по смеш. циклу на 100 км

РТ

л

Емкость топливного бака

Еб

л

Цена

Ц

$

Сопоставим эти показатели с помощью метода парных сравнений, а результаты запишем в табл. 3, элемент которой определяется таким образом:

После заполнения матрицы элементами сравнения найдем по строкам суммы балов по каждому показателю:

где n — количество показателей, n=8

Правильность заполнения матрицы определяется равенством

Затем определяем коэффициенты весомости по формуле

Следует заметить, что

Таблица 3

Показатель

М

Дл

МД

Vmax

РТ

Еб

Ц

Сумма

Мi

Ri

М

1

1

1

1

2

6

0,094

6

Дл

1

1

2

0,031

8

МД

2

2

1

1

2

1

9

0,141

3

Vmax

1

2

1

2

6

0,094

5

Ро

1

2

2

1

2

8

0,125

4

РТ

2

2

2

2

2

1

2

13

0,203

2

Еб

2

2

1

5

0,078

7

Ц

2

2

2

2

2

2

2

1

15

0,234

1

64

1

Распределим коэффициент показателей по рангу Ri. На этом основании перечень потребительских характеристик будет иметь вид:

1) Ц — цена, $;

2) Рт — расход топлива на 100 км

3) МД — мощность двигателя, л.с.;

4) Ро — рабочий объем двигателя, л.;

5) V мах — максимальная скорость, км/ч.;

6) М — снаряженная масса, кг

7) Еб — емкость топливного бака, л.;

8) Дл — длина, мм

Читайте также:  Монополия: сущность, виды, влияние на экономику

На основании полученных результатов составим таблицу бальных оценок первых четырех показателей.

Таблица 4

Показатель

1

2

3

4

5

Mi

Ц

26 650

25 690

19 190

18 690

15 990

0,234

Рт

9,1

9,0

8,0

7,4

6,0

0,203

МД

103

105

106

133

140

0,141

Ро

1 599

1 599

1 599

1 975

1 997

0,125

На основании данных табл. 4 определим значения интегральных оценок для выбранных двух более нам подходящих автомобилей:

HYUNDAI Sonata и HYUNDAI Trajet

F (HYUNDAI Sonata) = 0,234·1+0,203·2+0,141·4+0,125·5=1,83

F (HYUNDAI Trajet) =0,234·2+0,203·1+0,141·5+0,125·4=1,88

Поскольку F (HYUNDAI Trajet)> F (HYUNDAI Sonata), следует покупать автомобиль HYUNDAI Trajet.

Вывод: Сравнив множество показателей по которым мы сравнивали автомашины, получили, что F (HYUNDAI Trajet)> F (HYUNDAI Sonata), следует покупать автомобиль HYUNDAI Trajet.

2. Методы и модели линейного программирования.

Фирма производит два безалкогольных широко популярных напитка » Колокольчик» и «Буратино». Для производства 1 л. » Колокольчика требуется 0, 002 ч работы оборудования, а для » Буратино» — 0,04 ч, а расход специального ингредиента на них составляет 0,01 кг и 0, 04 кг на 1 л соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг специального ингредиента и 24 ч работы оборудования. Доход от продажи 1 л

» Колокольчика» составляет 0,25 руб., а » Буратино» — 0,35 руб.

Определите ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи.

Решение:

1) Составим математическую модель данной задачи:

Пусть X1 — количество » Колокольчиков»;

Х2 — количество » Буратино», тогда как необходимо определить ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи, то целевая функция:

F(Х12) = 0,25Х1+ 0,35Х2 мах

Система ограничений:

xj

2) Графическое решение задачи:

Представим каждое неравенство в виде равенства, т.е имеем уравнения прямых. Построим их, тогда система ограничений запишется в виде:

1) 0,02х1+0,04х2=24

2) 0,01х1+0,04х2=16

3) х1=0

4) х2=0

Преобразуем систему неравенств ( выразим Х2 через Х1)

Построим на плоскости ( х12) область допустимых значений согласно системе неравенств

x2=24-0,5x1

х1

20

х2

24

14

х2=16-4х1

х1

4

х2

16

Многоугольником допустимых решений является треугольник АВС. Построим вектор N =

Перемещаем линию уровня перпендикулярно вектору N в направлении вектора N до опорного положения.

Вершина в которой целевая функция принимает максимальное значение это вершина

С (20;13). Следовательно, ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от продажи составляет:

Читайте также:  Аналоговые АТС

f(х12)= 0,25*20+0,35*13=9,55

3) Классификация математической модели:

· По общему целевому назначению: прикладная модель;

· По степени агрегирования объектов: микроэкономическая модель;

· По конкретному предназначению: оптимизированная модель;

· По типу информации: идентифицированная модель;

· По учету фактора времени: статистическая модель;

· По учету фактора неопределенности: детерминированная модель;

· По типам математического аппарата: линейная модель;

· По типу подхода к изучаемым социально- экономическим системам: нормативная модель.

Вывод: Ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от продажи составляет 9,55 л.

3. Методы и модели теории игр

Определите максимальные стратегии игроков и седловую точку игры

Игрок

В1

В2

В3

В4

В5

А1

5

8

7

6

3

А2

10

12

4

7

2

А3

15

10

8

7

4

А4

10

7

8

12

6

А5

7

10

11

3

5

А6

7

2

3

12

4

Решение: Строки матрицы соответствуют стратегиям Аi (i=1,2,…,m), то есть стратегиям, которые выбирает игрок А. Столбцы — стратегии Вi,то есть стратегии, которые выбирает игрок В.

· Игрок А выбирает такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш :

,

где а — нижняя цена игры (гарантированный выигрыш игрока А)

· Игрок В выбирает такую стратегию, при которой его максимальный проигрыш

— минимизируется:

,

где — верхняя цена игры.

Составим расчетную таблицу.

коммерческий математический моделирование линейный программирование

1 2

В1

В2

В3

В4

В5

А1

5

8

7

6

3

3

А2

10

12

4

7

2

2

А3

15

10

8

7

4

4

А4

10

7

8

12

6

6

А5

7

10

11

3

5

3

А6

7

2

3

12

4

2

12

11

12

6

6

6

Этот выигрыш гарантирован игроку 1, как бы ни играл второй игрок.

Нижняя цена игры составляет 6

Минимальный проигрыш второго игрока

Получили, что первый игрок (А) должен выбрать пятую (А4) стратегию, а второй игрок (В) должен выбрать четвертую (В5) стратегию.

Итак, нижняя цена игры, или максимальный выигрыш: , верхняя цена игры, или минимальный выигрыш:

Нижняя и верхняя цена игры равны и достигаются на одной и той же паре стратегий

45). Следовательно, игра имеет седловую точку (А45).

Вывод: Игрок А должен выбрать четвертую стратегию, а игрок В пятую стратегию при этом выигрыш первого игрока будет максимальным из максимальных как бы ни играл второй игрок, а второй игрок минимально проиграет. Игра имеет седловую точку (А45).

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...